2013年全国中考数学试题分类解析汇编
专题22：二次函数的应用（几何l类）
一、选择题
1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】
2
2
A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3 【答案】 D。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】根据题意得：y＝|ax＋bx＋c|的图象如右图，
∵|ax＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根， ∴k＞3。故选D。
二、填空题 三、解答题
1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求
2
2
2
yA的值；
yB?yC（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求
yA的最小值．
yB?yC2
【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x+4x+10。
①∵y=x+4x+10=（x+2）+6，∴抛物线的顶点坐标为P（－2，6）。
②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在抛物线y=x+4x+10上， ∴yA=15，yB=10，yC=7。∴
2
2
2
yA15==5。
yB?yC10?7（Ⅱ）由0＜2a＜b，得x0??b
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由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1， 则AA1=yA，OA1=1。
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D， 则BD=yB－yC，CD=1。
过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点
F（x2，0）。
则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。 ∴
AA1FA1yA BD?CD ，即yB?yC ?1?x21?1?x2。 过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD。 ∴
AGBD?EGCD，即yA?yE y?1?x1。 B?yC∵点A（1，y、B（0，y1，y2
A）B）、C（－C）、E（x1，yE）在抛物线y=ax+bx+c
上，
∴yA=a+b+c，y2
B=c，yC=a－b+c，yE=ax1+bx1+c，
∴
?a?b?c???ax12?bx1?c?2
c??a?b?c??1?x1，化简，得x1
＋x1－2=0，
解得x1=－2（x1=1舍去）。
∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。 则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。 ∴
yA yB?yC 的最小值为3。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。
【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。
①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。
②将A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、
yB、yC的值，然后计算
yAyy的值即可。
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（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出x0??b
1?x2y?yE yA ??1?x2，?1?x1，然后求出yA、，再根据△AEG∽△BCD得到AyB?yC 1yB?yCyA 的
yB?yCyB、yC、yE的表达式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1＜－1，从而利用不等式求出
最小值。
2. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=
2
1，EF⊥OD，垂足为F． 2（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．
【答案】解：（1）二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
2
?a=?2?16a+24+c=0∴?，解得?。
c=8a?6+c=0??∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x+6x+8。
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。
∴∠DEF=∠ODA。
2
EFED。 =DODAED1EF1∵=。 =tan?DAE=，∴
DO2DA2∴△EDF∽△DAO。∴
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EF11=，∴EF=t。 t22DFED同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。 =OADA∵OD=t，∴
（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x+6x+8，∴C（0，8），OC=8。
如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点． ∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。 在△CAG与△OCA中，
∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC， ∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，
则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，
2?1?由勾股定理得： AE?AM?EM??4+t?+?t?2?。
?2?22222
12在Rt△AEG中，由勾股定理得：
522?1?EG=AE?AD??4+t?+?t?2??82?t?44。
24??222在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+1252t?44 422?522??1?222
由勾股定理得：EF+CF=CE，即?t?+?10?t?=??4+4t?44??。 ?2???解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。 ∴t=6。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。
（2）先证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求 解。
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（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的长度；然
后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。
3. （2012广东广州14分）如图，抛物线y=?x2?x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
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【答案】解：（1）在y=?x2?x+3中，令y=0，即?x2?x+3=0，解得x1=﹣4，x2=2。 ∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。
38343834338433 在y=?x2?x+3中，令x=0，得y=3。
8411 ∴OC=3，AB=6，S?ACB?AB?OC??6?3?9。
22（2）由y=?x2?x+3得，对称轴为x=﹣1。
在Rt△AOC中，AC=OA2+OC2?42+32?5。
118AC?h=9，解得h=。 2518如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的
5设△ACD中AC边上的高为h，则有
直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。
设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=
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