2013年全国中考数学试题分类解析汇编
18CFCF9???5?。 ∴CE?sin?CEFsin?OCA425设直线AC的解析式为y=kx+b， 将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得
?3??4k+b=0?k=，解得?4。 ?b=3???b=3∴直线AC解析式为y?3x?3。 49个长度单位）而形成2直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（
的，
3933x?3??x?。 42423399则D1的纵坐标为???1????。∴D1（﹣4，?）。
4424927同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。
24927综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，?），D2（﹣1，）。
44∴直线L1的解析式为y?（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切
线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。
∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径
FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF中，-
43，cos∠MFE=。 55412在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=33?，
5539FN=MN?cos∠MFE=33?。
554412则ON=。∴M点坐标为（，）。
555412直线l过M（，），E（4，0），
55ME=52?32?4，sin∠MFE=
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123?4??k+b=?k=?设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有?55，解得?4。
???b=3?4k+b=0∴直线l的解析式为y=?x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=?x﹣3。 综上所述，直线l的解析式为y=?x+3或y=?x﹣3。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。
（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，
平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。
（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含
义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。
4. （2012广东肇庆10分）已知二次函数y?mx2?nx?p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、
B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan?CAO?tan?CBO?1． （1）求证： n?4m?0； （2）求m、n的值；
（3）当p﹥0且二次函数图象与直线y?x?3仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 【答案】（1）证明：∵二次函数y?mx2?nx?p图象的顶点横坐标是2，
∴抛物线的对称轴为x=2，即?34343434n?2，化简得：n+4m=0。 2m第 7 页 共 71 页
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（2）解：∵二次函数y?mx2?nx?p与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜
x2，
∴OA=－x1，OB=x2；x1?x2??np，x1?x2? 。 mm令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。 由
三
角
函
数
定
义
得
：
tan?CAO?pOC p OC p 。 ??? ，tan?CBO??OA?x1x1OBx2∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即?px1?p x2=1 ，化简得：
x1?x21?。
x1?x2pnpnp1??1。将x1?x2??，x1?x2? 代入得：m?，化简得：n?
pppmm m?由（1）知n+4m=0，
∴当n=1时，m??；当n=－1时，m?∴m、n的值为：m?n=1（此时抛物线开口向下）。
（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1，m?? ，
∴抛物线解析式为：y??x2?x?p。
2联立抛物线y??x141。 411 ，n=－1（此时抛物线开口向上）或m?? ，44141414?x?与p直线y=x+3解析式得到：
1?x2?x?p?x?3， 4化简得：x2?4?p?3??0 ＊。
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，
∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=0+16（p－3）=0，解得p=3。 ∴抛物线解析式为：y??x2?x?3=?2
141?x?2?2+4。 4当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。
∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大
值为4。
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【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。
【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式?n化简即得n+4m=0。 ?2，
2m（2）利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛
物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。
（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值。
5. （2012广东珠海7分）如图，二次函数y=（x﹣2）+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）+m的x的取值范围．
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6. （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）． （1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 【答案】解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），
∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y?2
m。 xm，解得：m=﹣2。 12∴反比例函数的解析式为：y??。
x将A（1，﹣2）代入得： ?2?（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0。
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