2013年全国中考数学试题分类解析汇编
令x=0，得y=3，即N（0，3）。
∴N′（6， 3）
由y??x2?2x?3=??x?1?+4得
D（1，4）。
设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，
则
21?s=???6s+t=3?5，解得?。 ?s+t=421??t=??5∴故直线DN′的函数关系式为y??x?1521。 5根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，
MN+MD的值最小，
∴m???3?152118=。 5518。 5∴使MN+MD的值最小时m的值为
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN
是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。
②当BD为平行四边形边时，
∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，?x2?2x?3）。 又∵BD=2
∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。 ∴?x2?2x?3??x?1?=2，即?x2?x?2=2。
若?x2?x?2=2，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。
?1+173+171?17若?x?x?2=?2，解得，x=，∴E? ?2，22?2?或????1?173?17?E?。 ??2，?2??第 26 页 共 71 页
2013年全国中考数学试题分类解析汇编
?1+173+17 ?2，??、???综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、?2?1?173?17?。 ???2，?2??（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3）。 ∴PQ?（?x2?2x?3）（?x?1）??x2?x?2。 ∴S?APC?S?APQ+S?CPQ?PQ?AG
2
12131227?（?x2?x?2）?3??（x?）?。 2228 ∵?<0，
∴当x=时，△APC的面积取得最大值，最大值为
321227。 8【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。
（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M
（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。
（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。
（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，
x+1），则P（x，﹣x+2x+3），求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知
2
2
S?APC?S?APQ+S?CPQ，由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值。
16. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y??相交于点B、
C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
第 27 页 共 71 页
1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m2013年全国中考数学试题分类解析汇编
【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴2??（2）由（1）得y??1?2?2?(2?m)，解得m=4。 m1?x?2?(x?4)。 41?x?2?(x?4)，解得x1=－2，x=4。 4 令x=0，得y?2。∴E（0，2），OE=2。 令y=0，得0??∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。
121（3）由（2）可得y???x?2?(x?4)的对称轴为x=1。
4 ∴△BCE的面积=?6?2?6。
连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间
线段最短的性质，知此时BH+EH最小。
设直线CE的解析式为y?kx+b，则
1??4k+b=01?k=? ?，解得?2。∴直线CE的解析式为y??x+2。
2?b=2??b=2 当x=1时，y?33。∴H（1，）。
22（4）存在。分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如图所示。 则
BEBC2
，∴BC=BE?BF。 ?BCBF由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。 作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。 ∴令F（x，－x－2）（x＞0）， 又点F在抛物线上，∴－x－2=?1?x?2?(x?m)， m∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，－2m－2）。
第 28 页 共 71 页
2013年全国中考数学试题分类解析汇编
此
时
BF?(2m?2)2?(?2m?2)2?22（m?1），BE?22，BC?m?2，
又BC=BE?BF，∴（m+2）= 22 ?22，解得m=2±22。 （m?1）∵m＞0，∴m=22+2。
②当△BEC∽△FCB时，如图所示。 则
2
2
BCEC2
，∴BC=EC?BF。 ?BFBC同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，
TFOE2 ??。 BTOCm2 ∴令F（x，－（x+2））（x＞0），
m2 1又点F在抛物线上，∴－（x+2）=??x?2?(x?m)。
mm∴
∵x+2＞0（∵x＞0）， ∴x=m+2。∴F（m+2，－
2 （m+4）），EC?m2?4，BC=m+2。 m2
又BC=EC?BF，∴（m+2）= m?4?整理得：0=16，显然不成立。
2
2?m+2+2?2+4?m+4?m22 .
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为
顶点的三角形与△BCE相似，m=22+2。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。
（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。
（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，
连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。
（4）分两种情况进行讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得22+2。
②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。
第 29 页 共 71 页
2013年全国中考数学试题分类解析汇编
17. （2012湖南常德10分）如图，已知二次函数y?3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
1(x?2)(ax?b)的图像过点A(－4，48
【答案】解：（1）将A(－4，3），B(4，4)代人y?1(x?2)(ax?b)中， 481?3?(?4?2)(?4a?b)???4a?b?72?a?1348 ? ， 整理得：? 解得?
14a?b?32b??20???4?(4?2)(4a?b)?48? ∴二次函数的解析式为：y?1(x?2)(13x?20)，即：4813215x?x?。 488613215 （2）由 x?x??0整理得 13x2?6x?40?0，解得
488620x1=?2，x2=。
13y??20? 0?。 ∴C （－2，0），D ?，?13? ∴AC=4+9 ，BC=36+16，AC+ BC=13+52=65，AB=64+1=65， ∴ AC+ BC=AB 。∴△ACB是直角三角形。 （3）设P(x， 2
2
2
2
2
2
2
2
13151321520，则PH=x2?x?， HD=?x。 x?x?)（x<0）
4886134886又∵AC=13， BC=213，
第 30 页 共 71 页