2013年全国中考数学试题分类解析汇编
2∵二次函数y=k（x+x﹣1）=k（x?）?k，∴它的对称轴为：直线
2
1254x=﹣
1。 2要使二次函数y=k（x+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须
2
在对称轴的左边，即x＜﹣
1时，才能使得y随着x的增大而增大。 21∴综上所述，k＜0且x＜﹣。
2?15? k?。 （3）由（2）可得：Q??，24??∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中
的一种情况）
∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB。
作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分别为点C，D。 ∴OQ?CQ2+OC2?1252+k。 416∵OA?AD2+OD2?1+k2， ∴12522+k?1+k2，解得：k=±3。 4163【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数和二次函数的性质。
【分析】（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y?利用待定系数法即可求得答案；
（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0。 又由二次函数y=k（x+x﹣1）的对称轴为x=﹣
随着x的增大而增大。
（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三
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m，x11，可得x＜﹣时，才能使得y22?15? k?，A（1，k）角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q??，，即可?24?第 11 页 共 71 页
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1252+k?1+k2，从而求得答案。 4162
得7. （2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线． （1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为45，求点M的坐标． 5
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x﹣x﹣2。 （2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x+2=（x+1）， 解得，x=
2
2
22
2
33，即OP=。 22（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。
（i）如图1，当H在点C下方时， ∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。 ∴x﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。 ∴M（1，﹣2）。
（ii）如图2，当H在点C上方时， ∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。
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由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点， 设直线CM′的解析式为y=kx﹣2， 把P（∴y=由
334，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。 2234x﹣2。 34747102
x﹣2=x﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=3??2=。 33339710∴M′（，。 ）
394②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=5，
5在Rt△AOC中，AC=AO2+CO2=12+22=5。 ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC，
45AD5ADDE∴，即，解得AD=2。 ==2ACOC5∴D（1，0）或D（﹣3，0）。
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。 当﹣2x﹣6=x﹣x﹣2时，即x+x+4=0，方程无实数根，
2
2
?1?17?1+17，x2?。 22?1?17?1+17， 3+17）或（， 3?17）∴点M的坐标为（。 22当﹣2x+2=x﹣x﹣2时，即x+x﹣4=0，解得x1?2
2
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。
【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。
（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。
（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方
时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M
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为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。
②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，
根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。
8. （2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线y??x2?2mx(m?0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM?x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。 （1）当m?3时，求点A的坐标及BC的长； （2）当m?1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）当m=3时，y=－x＋6x。
令y=0得－x＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。 当x=1时，y=5。∴B（1，5）。
∵抛物线y=－x＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，
∴BC=4。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。 ∴
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AHPB。 ?CHBC第 14 页 共 71 页
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∵抛物线y=－x＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称
轴对称，
∴BC=2（m－1）。
∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。
又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。 ∴AH=1，CH=2m－1， ∴
2
1m?13?，解得m= 。 2m?12?m?1?2（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。
（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1， （i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。 ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。 此时点E的坐标是（2，0）。
（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N， 易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。 此时点E的坐标是（0，4）。
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m， （i）若点E在x轴上（如图3）， 易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=此时点E的坐标是（
2。 34 ，0）。 3（ii）若点E在y轴上（如图4），
过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），
当m=
24时，点E的坐标是（，0）。 33【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的
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