2013年全国中考数学试题分类解析汇编
∵ＳΔAOB=OA?OB=121m2?m4?n2?n4，m n＝－１， 2＝
∴Ｓ
ΔAOB
1112?m2?n2?2?m2?222m＝
111?1?1(m?)2??m????2?1。 2m2?m?2∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。 ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。
【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。
（2）将x?1配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。 x（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析
式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。
别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：y＝x。
∴Ａ(m，m)，B（n，n）。
过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， 则S?S梯形ACDB?S?AOC?S?BOD
2
2
2
1211(m?n2)(m?n)?m?m2?n?n2222 1??mn(m?n)2?n2?nBDOD??2。∴mn??1。 由△BOD∽△OAC得 ，即OCACmm∴S??11?1?1mn(m?n)=?m+???2?1。 22?m?2第 21 页 共 71 页
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∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。 ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。
13. （2012湖北武汉12分）如图1，点A为抛物线C1：y=x2?2的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a
交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；
(3)如图2，将抛物线C1向下平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴
于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．
12
图1 图2
【答案】解：（1）∵当x=0时，y＝－2。∴A（0，－2）。
?b=?2?k=2 设直线AB的解析式为y=kx+b，则?，解得?。
k+b=0b=?2?? ∴直线AB的解析式为y=2x?2。 ∵点C是直线AB与抛物线C1的交点，
?y=2x?2?x1=4?x2=0? ∴?12，解得?（舍去）。 ， ?y=x?2?y1=6?y2=?2??2 ∴C（4，6）。
（2）∵直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，
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∴yD=4，yE=，∴DE=yD?yE=4? ∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。
∵直线x＝a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G， ∴yF=2a?2，yG=a2?2。
5253?。 22121∴FG=yF?yG=2a?a2=2。
2 解得a1=2，a2=2+22，a3=2?22。
（3）设直线MN交y轴于点T，过点N作NH⊥y轴于点H。
设点M的坐标为（t,0），抛物线C2的解析式为y=x2?2?m。 ∴0=t2?2?m。∴?2?m=?t2。
121122111∴y=x2?t2。∴P（0，?t2）。
222 ∵点N是直线AB与抛物线C2的交点，
?y=2x?2?x1=2?t?x2=2+t? ∴?1212，解得?（舍去）。 ， ?y=x?ty=2?2ty=2+2t?1?2?2?2 2?2t）∴N（2?t，。
∴NQ=2?2t，MQ=2?2t。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=45。 ∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN。 ∴OT=－t，NT?2NH=2?2?t?，PT=?t+t2。 ∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。
∴?t+t2?2?2?t?，解得t1=?22，t2=2（舍去）。 ∴?2?m=?t2=?0
1212121?222??2=?4。∴m=2。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。 【分析】（1）由点A在抛物线C1上求得点A的坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式；联立直线AB和抛物线C1即可求得点C的坐标。
（2）由FG：DE＝4∶3求得FG=2。把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示，
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即可得等式
1FG=yF?yG=2a?a2=2，解之即可得a的值。
2 （3）设点M的坐标为（t,0）和抛物线C2的解析式y=x2?2?m，求得t和m的关系。求出点P和点N的坐标（用t的代数式表示），得出△MOT，△NHT都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT，列式求解即可求得t，从而根据t和m的关系式求出m的值。
14. （2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值． 【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y=0得（k﹣1）x﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。 综上所述，k的取值范围是k≤2。 （2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。
由题意得（k﹣1）x1+（k+2）=2kx1（*），
将（*）代入（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。 又∵x1+x2=
22
2
2
2
2
122kk+22kk+2，x1x2=，∴2k?=4?， k?1k?1k?1k?1解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。
123）+，且﹣1≤x≤1， 2213由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。
223∴y的最大值为，最小值为﹣3。
2②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x+2x+1=﹣2（x﹣
2
【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。
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【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。
（2）①根据（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求
出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。
15. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
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【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
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?b=2??1?b+c=0，解得?。∴抛物线的函数关系式为y??x2?2x?3。 ?c=3?4+2b+c=3??设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，
3）得
?k=1??k+n=0，解得?。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。 ?n=12k+n=3??（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，
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