2013年全国中考数学试题分类解析汇编
20. （2012湖南株洲10分）如图，一次函数y=?x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线
y=﹣x+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
2
12
【答案】解：（1）∵y=?x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。 将x=0，y=2代入y=﹣x+bx+c得c=2；
将x=4，y=0代入y=﹣x+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=∴抛物线解析式为：y=﹣x+
222
127。 27x+2。 2（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t。
∵tan?ABO?OA21??， OB4211 =2﹣t。 2227又∵N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t+t+2。 212∴MN?yN?ME??t2?t?2?（2?t）??t2?4t=??t?2?+4。
2∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t）3∴当t=2时，MN有最大值4。
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
如图2，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形。
第 36 页 共 71 页
2013年全国中考数学试题分类解析汇编
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）， 由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2， 从而D为（0，6）或D（0，﹣2）。
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点， 由D11（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=?2x+6； 由D32（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=2x﹣2。 由两方程联立解得D为（4，4）。
综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。
（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极
值求线段MN的最大值。
（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴
上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标。
21. （2012湖南湘潭10分）如图，抛物线y=ax2?32x?2?a?0?的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
【答案】解：（1）∵B（4，0）在抛物线y=ax2?32x?2?a?0?的图象上
第 37 页 共 71 页
2013年全国中考数学试题分类解析汇编
∴0=16a??4?2，即：a=。 ∴抛物线的解析式为：y=x2?x?2。
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。
∴OA=1，OC=2，OB=4。∴
32121232OCOB ? 。 OAOC又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。 ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。 ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径。 ∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（
1，0）。 21x﹣2。 2（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线
只有一个交点时，可列方程：
1132
x+b=x2?x?2，即： x﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。 2221∴16﹣43（﹣4﹣2b）=0，解得b=4。∴直线l：y=x﹣4。
21∵S?MBC??BC?h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC
2的面积最大。
∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：
?123y=x?x?2??x=2?22，解得：。∴ M（2，﹣3）。 ???y=?3?y=1x?4??2【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一元二次方程根的判别式，解方程和方程组。
【分析】（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。
（2）根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导
出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标。
（3）△MBC的面积可由S?MBC?1?BC?h表示，若要它的面积最大，需要使h取最2大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M。
第 38 页 共 71 页
2013年全国中考数学试题分类解析汇编
22. （2012四川资阳9分）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；
（2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；
（3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA3PB＝
14100，求点M的坐标． 9
【答案】解：（1）∵y=x2+x+m=141?x+2?2+?m?1?，∴顶点坐标为(－2 , m?1)。 4∵顶点在直线y=x+3上，∴－2+3=m?1，解得m=2。 （2）∵点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，
∴点N的纵坐标为a2+a+2，即点N(a,a2+a+2)。 过点F作FC⊥NB于点C，
在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB－CB=a2+a,
22∴NF2?NC2?FC2? （ a2?a）?（a?2）1414141412?（a2?a）?（a2?4a）?4。 4而
1122NB2?（a2?a?2）?（a2?a）?（a2?4a）?4，
44∴NF=NB，NF=NB。 （3）连接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF， 由（2）的结论知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA。
2
2
第 39 页 共 71 页
2013年全国中考数学试题分类解析汇编
∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，
∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，
∠MAF+∠NBF=90°。
∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°。 又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。 又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF。 ∴
PFPB1002
，∴PF= PA3PB＝。 ?PAPF9过点F作FG⊥x轴于点G。 在Rt△PFG中，PG?PF2?FG2?∴P(－
100814?22?，∴PO=PG+GO=。 93314 , 0) 。 314 , 0)代入y=kx+b得 3设直线PF：y=kx+b，把点F（－2 , 2）、点P(－
?3k=?2=?2k+b???4，解得?。 14?0=?k+b7??b=3???2∴直线PF：y=x+。
解方程x2+x+2=x+，得x=－3或x=2（不合题意，舍去）。 当x=－3时，y=，∴M（－3 ,
3472143472545）。 4【考点】二次函数综合题，二次函的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可。
（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF=NC+FC，
从而得出NF=NB，即可得出答案。
（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，
然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA?PB的值转化为PF的值，从而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解。
第 40 页 共 71 页
2
2
2
2
2