2013年全国中考数学试题分类解析汇编
判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条
件证明
△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：BP，代入比例式即可求出m的值。
（3）存在。本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m－1和当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。 9. （2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
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AHPB ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，?CHBC
【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x＋bx＋c，得
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?b=2?c=3，解得。 ??c=3?4+2b+c=3??∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x＋2x＋3。 (2)∵y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。
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令y＝0，得－x＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。 ∴AB＝3－(－1)＝4。 ∴△ABD的面积＝
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13434＝8。 2(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的
直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，
∵点A对应点G的坐标为(3，2)。 ∵当x＝3时，y＝－3＋233＋3＝0≠2， ∴点G不在该抛物线上。
【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。
【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。
(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝
对值为高，可求出△ABD的面积。
(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析
式中直接进行判定即可。
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10. （2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x＋bx＋c与x轴相
2交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)将抛物线y＝x＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长
22度，得到新抛物
线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．
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【答案】解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x+bx+c中，得：
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?0?c??4 ?b??1 ?，解得，?。
c??42?2b?c?0?? 1 2
∴抛物线的解析式：y=x－x－4。
2（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=即：y=x2+?m?1?x+m2?m?17?x+m?2??x+m??4+， 2212121。它的顶点坐标P（1－m，－1）。 2由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。 ∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。
当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m=
5； 2当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2； 又∵m＞0，
∴当点P在△ABC内时，0＜m＜
5 。 2（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。 ∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB， 即∠ONB=∠OMB。
如图，在△ABN、△AM1B中， ∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B， ∴△ABN∽△AM1B，得：AB=AN?AM1； 由勾股定理，得AB=（－2）+4=20， 又AN=OA－ON=4－2=2，
∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。 综上，AM的长为6或2。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶
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点坐标，将其
代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在
y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。
11. （2012江苏泰州10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的
顶点A、C分
别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y??x2?bx?c的图象经过B、C两点． （1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．
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12. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为y?ax2?bx?3a(b?0)，若抛物线C1经过
点(0,?3)，方程ax?bx?3a?0的两根为x1，x2，且x1?x2?4。
（1）求抛物线C1的顶点坐标. （2）已知实数x?0，请证明：x?211≥2,并说明x为何值时才会有x??2. xx1（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(my,)，
B(n,y2)
0是C2上的两个不同点，且满足： ?AOB?90，m?0，n?0.请你用含有m的表达式
表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。 （参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离
(x2?x1)2?(y2?y1)2）
【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３。∴a＝１ 。
∴ｙ＝x＋bx－３
∵x＋bx－３=０的两根为x1，x2且x1?x2?4，
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∴x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2=b2+12＝４且b＜０。∴b＝－２。 ∴ｙ＝x2?２x?３＝?x?１??４。 ∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）。 （2）∵x＞０，∴x?∴x?211?2?(x?)?0 xx1?2。 x11=0时，即当x＝１时，有x??2。 当x?xx（3）由平移的性质，得C2的解析式为：y＝x 。
∴Ａ(m，m)，B（n，n）。
∵ΔAOB为直角三角形，∴OA＋OB=AB。 ∴m＋m＋n＋n＝（m－n）＋（m－n）， 化简得：m n＝－１。
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