2013年全国中考数学试题分类解析汇编
1321520x?x??xPHHD488613 ①当△PHD∽△ACB时有：，即：， ??ACCB13213整理得
13251255020解得x1??，，此时，x?x??0， x2?（舍去）
244391313y1?35。 13 ∴P1(?5035。 ， ）13132013215?xx?x?DHPH86， ②当△DHP∽△ACB时有：， 即：13 ??48ACBC13213 整理
时，y1?1321730512220，此x?x??0，解得x1??， x2?（舍去）
488781313284。 13122284。 ， ）13135035122284，P2(?。 ， ）， ）13131313 ∴P2(? 综上所述，满足条件的点有两个即P1(?【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，解一元二次方程和二元一次方程组。
【分析】（1）求二次函数的解析式，也就是要求y?A(-4，3），B(4，4)代人即可。
（2）求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。
（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。
18. （2012湖南怀化10分）]如图，抛物线m：y??(x?h)2?k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M(3, 的顶点为D.
（1）求抛物线n的解析式；
（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为(x, y)，△PEF的面积
1(x?2)(ax?b)中a、b的值，只要把481425?),将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n,它4第 31 页 共 71 页
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为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.
【答案】解：（1）∵抛物线m的顶点为M(3, ∴m
∴A(?2, 0), B(8, 0)。
∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转180?得到，∴D的坐标为(13, ?∴抛物线n的解析式为：y?(x?13)2?25)， 41251的解析式为y??(x?3)2?=?(x?8)(x?2)。
44425 )。41425113，即y?x2?x?36。 442（2）∵点E与点A关于点B中心对称，∴E(18, 0)。
5?k??18k?b?0???4。
设直线ED的解析式为y?kx?b，则? 25，解得?13k?b??45??b??4??2?∴直线ED的解析式为y?545x?。 421545?x(x?)242又点P的坐标为(x, y)， ∴S
?111OF?FP?x?y??xy222==
545?x2?x(13?x?18)。 84∴当x??52?(?)8908?9时，S有最大值。
但13?x?18，∴△PEF的面积S没有最大值 。 （3）直线CM与⊙G相切。理由如下：
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∵抛物线m的解析式为y??(x?8)(x?2)，令x?0得y?4。
∴C(0, 4)。
∵抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，∴OC=4，OG=3，GM?∴由勾股定理得CG=5。
又∵AB=10，∴⊙G的半径为5，∴点C在⊙G上。 过M点作y轴的垂线，垂足为N，
1425。 425225。 ?4)2?32?416225625252又CG2?CM2?52???()，
16164则CM2?CN2?MN2?(∴GM2?CG2?CM2。
∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=90。∴CG?CM。 ∴直线CM与⊙G相切。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理和逆定理。
【分析】（1）由抛物线m的顶点坐标写出抛物线m的顶点式方程，化为交点式方程即可求出A、B两点的坐标，根据旋转的性质即可求出抛物线n的解析式。 （2）求出直线ED的解析式，由点P在直线ED，可知P(x, x?0
5490从而求出△PEF)，4的面积S的函数关系式，由点P在线段ED上得13?x?18。从而根据二次函数最值的求法得出结果。
（3）要判断直线CM与⊙G的位置关系首先要判断CG与⊙G半径的关系，由AB=10，得⊙G的半径为5。求出CG，知点C在⊙G上。由勾股定理和逆定理，得出GM2?CG2?CM2。从而得出CG?CM，得出直线CM与⊙G相切的结论。
19. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线y?ax2?bx?c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标． （3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】解：（1）∵抛物线y?ax2?bx?c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，
3?a???816a?4b?c?0??3??∴ ?4a?2b?c?3，解得?b? 。
4?? c?3??c?3??∴抛物线的解析式为：y?? x2? x?3，其对称轴为：x??（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、
C是关于对称轴x=1的对称点。
如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，
则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。
设直线AC的解析式为y=kx＋b，
3834b ?1。
2a3??4k?b?0?k??∵A（4，0），C（0，3），∴ ? ，解得? 4。
b?3???b?3∴直线AC的解析式为：y=?x＋3。 令x=1，得y=（3）结论：存在。
如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意： ①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。
由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与
抛物线的另一个交点P1即为所求。
在y?? x2? x?3中令y=0，解得x1=-2，x2=4。
3499 。∴M点坐标为（1，）。 443834第 34 页 共 71 页
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∴P1（－2，0）。
∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。 ∴四边形ABCP1为梯形。
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。 设CP2与x轴交于点N，
∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，
0）。
3??2k1?b1?0?k??设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ?，解得?2。
b?3 ?1??b?3∴直线CN的解析式为：y=?x+3。
∵点P2既在直线CN：y=?x+3上，又在抛物线：y?? x2? x?3上， ∴?x+3=? x2? x?3，化简得：x－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。
2
32323834323834∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P2（6，－6）。 ∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成
的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，
线段最短的性质，梯形的判定。
【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式x??b求出对称轴。 2a（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C
的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。
（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时
P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。
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