第六章 不等式、推理与证明
第一节不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?bb，b>c?a>c a>b?a＋c>b＋c 注意 ? ? ? 可乘性 a>b???ac>bc c>0?a>b???ac 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b?ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b?ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． [试一试] 1．(2013·北京高考)设a，b，c∈R，且a>b，则( ) A．ac>bc C．a2>b2 11 B.< ab D. a3>b3 解析：选D 由性质知选D. 2. 1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 2－1 1 ＝2＋1＜3＋1. 2－1 解析： 答案：< 1．不等式的倒数性质 11 (1)a>b，ab>0?<； ab11 (2)a<0 abab (3)a>b>0,0 cd111 (4)0 bxa2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质： bb＋mbb－m<；>(b－m>0)； aa＋maa－m(2)假分数的性质： aa＋maa－m>；<(b－m>0)． bb＋mbb－m[练一练] b＋ca＋c 若00，则与的大小关系为________． a＋cb＋cb＋ca＋c答案：> a＋cb＋c 考点一 比较两个数(式)的大小 1.已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．M B．M>N D．不确定 解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)， ∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0. ∴M>N. 3 2．若实数a≠1，比较a＋2与的大小． 1－a－a2－a－1a2＋a＋13 解：a＋2－＝＝ 1－a1－aa－13 ∴当a>1时，a＋2>； 1－a3 当a<1时，a＋2<. 1－a[类题通法] 比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法： 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断． 注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 考点二 不等式的性质 [典例] (1)(2014·太原诊断)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 ab (2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④ dca·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( ) A．1 C．3 B．2 D．4 [解析] (1)由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件，选D. (2)法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)， abac＋bd ∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0， dccd故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. 法二：取特殊值． [答案] (1)D (2)C [类题通法] 判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考： (1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0； (2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等． [针对训练] 若a>b>0，则下列不等式不成立的是( ) 11 A.< ab C．a＋b<2ab B．|a|>|b| 1?a?1?b D.??2? 1?a?1?b11 解析：选C ∵a>b>0，∴<，且|a|>|b|，a＋b>2ab，又2a>2b，∴??2? 考点三 不等式性质的应用 [典例] 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围． [解] f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. f(－2)＝4a－2b. 设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. ???m＋n＝4，?m＝1，?则解得? ?m－n＝－2，???n＝3. ∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10. 即f(－2)的取值范围为[5,10]． 若本例中条件变为：已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1 f(1)<4，求f(－2)的取值范围. 解：由本例知f(－2)＝f(1)＋3f(－1)． 又∵1 故f(－2)的取值范围为(5,10)． [类题通法] 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． [针对训练] ??－1≤α＋β ≤1，若α，β满足?试求α＋3β的取值范围． ?1≤α＋2β ≤3，? 解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. ???x＋y＝1，?x＝－1， 则?解得? ??x＋2y＝3，y＝2.?? ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]． [课堂练通考点] 1．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件