1
解析：已知不等式组可表示成如图的可行域，当0≤－k<时，直
2线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍1
去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点N(2,3)时z最大，所以2k
29
＋3＝12，解得k＝(舍去)；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)
2时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合条件，综上可知，k＝2.
答案：2
x－y＋1≥0，??
(2)(2014·江西七校联考)已知实数x，y满足?x＋2y－8≤0，
??x≤3.最小值的唯一的可行解，则实数a的取值范围为________．
解析：记z＝ax－y，注意到当x＝0时，y＝－z，即直线z＝ax－y在y轴上的截距是－z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合1
图形可知，满足题意的实数a的取值范围为a<－.
2
1
－∞，－? 答案：?2??[类题通法]
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z＝ax＋by.
az
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求bbz
直线的截距的最值间接求出z的最值．
b
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. y－b
(3)斜率型：形如z＝.
x－a注意：转化的等价性及几何意义．
考点三 线性规划的实际应用
5
3，?是使ax－y取得若点??2?
[典例] (2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元
B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
[解析] 设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
36x＋60y≥900，??y－x≤7，?y＋x≤21，??x，y∈N，
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
[答案] C [类题通法]
求解线性规划应用题的注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]
某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 C．2 800元
B．2 400元 D．3 100元
解析：选C 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润x＋2y≤12，??
为z元，则?2x＋y≤12，
??x≥0，y≥0，
z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式
组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．
[课堂练通考点]
??x－3y＋6≥0，
1．(2014·长春模拟)不等式组?表示的平面区域是( )
?x－y＋2<0?
解析：选B x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0以及该直线下方的区域，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0上方的区域，故选B.
x≥1??
2．(2013·北京市海淀区期中练习)不等式组?x＋y－4≤0
??kx－y≤0域，则k的值为( )
A．－2 C．0
B．－1 D．1
表示面积为1的直角三角形区
解析：选D 注意到直线kx－y＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx－y＝0与直线x＋y－4＝0垂直时满足题意，于是有k×(－1)＝－1，由此解得k＝1，选D.
3．(2014·泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件
??x＋|y|≤1，
?OP的最大值为( ) 则z＝OA·?x≥0，?
A．－2 C．1
解析：选D 如图作可行域，
B．－1 D．2
OP＝x＋2y，显然在B(0,1)z＝OA·处zmax＝2.故选D. x＋y≤8，
??2y－x≤4，
约束条件?x≥0，
??y≥0，
4．(2013·四川高考)若变量x，y满足
且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．48 C．24
x＋y≤8，
??2y－x≤4，
解析：选C 约束条件?x≥0，
??y≥0
B．30 D．16
表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形
区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝4，y＝4时，a＝zmax＝5×4－4＝16；当x＝8，y＝0时，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.
?? x－y≥－1，
5．(2013·安徽高考)若非负变量x，y满足约束条件?则x＋y的最大值为
?x＋2y≤4，?
________．
解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部，令z＝x＋y，易知当直线y＝－x＋z经过点C(4,0)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最大值，即zmax＝4.
答案：4
x≥0，??
6．(2013·北京高考)设D为不等式组?2x－y≤0，
??x＋y－3≤0点(1,0)之间的距离的最小值为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)|2×1－0|2525
到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为. 5522＋1
25
答案：
5
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( ) A．(－24,7)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
B．(－7,24)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
所表示的平面区域，区域D上的点与
解析：选B 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0. 即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24. x≤2，??
2．已知实数对(x，y)满足?y≥1，
??x－y≥0，A．6 C．(2,2)
则2x＋y取最小值时的最优解是( )
B．3 D．(1,1)
解析：选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.
x＋2y≥2，??
3．(2012·山东高考)设变量x，y满足约束条件?2x＋y≤4，
??4x－y≥－1，取值范围是( )
3
－，6? A.??2?C．[－1,6]
3
－，－1? B.??2?3－6，? D.?2??
则目标函数z＝3x－y的
解析： 选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取1?3
，3处取得，即最大值为6，最小值为－. 得，最小值在点B??2?2
y≥1，??
4．(2013·北京西城一模)实数x，y满足?y≤2x－1，
??x＋y≤m，函数z＝x－y的最小值为－2，则实数m的值为( )
A．5 C．7
B．6 D．8
如果目标
??y≥1，
解析：选D 先作出满足不等式组?的区域如图．
?y≤2x－1?
由z＝x－y得y＝x－z可知，直线的截距最大时，z取得最小值，此时直线y＝x－(－2)
?y＝2x－1，?x＝3，??
＝x＋2，作出直线y＝x＋2，交y＝2x－1于A点，由?得?代入x＋y＝m
??y＝x＋2，y＝5，??
得m＝3＋5＝8，故选D.
x＋y≤a??
5．(2014·辽宁六校联考)设变量x，y满足约束条件?x＋y≥8，
??x≥6成立，则实数a的取值范围是( )
A．[8,10] C．[6,9]
B．[8,9] D．[6,10]
且不等式x＋2y≤14恒
解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无