11ba1＋??1＋?＝?2＋??2＋? ∴??a??b??a??b?ba?ba
＋≥5＋4＝9，当且仅当＝， ＝5＋2??ab?ab1
即a＝b＝时取“＝”．
2
111
1＋??1＋?≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立． ∴??a??b?211111
1＋??1＋?＝1＋＋＋ 法二：??a??b?ababa＋b12
＝1＋＋＝1＋，
ababab∵a，b为正数，a＋b＝1， ∴ab≤?
a＋b?211
＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”．
2?2?4
121
于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”．
abab211
1＋??1＋?≥1＋8＝9， ∴??a??b?1
当且仅当a＝b＝时等号成立．
2[类题通法]
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
[针对训练]
11
设a，b均为正实数，求证：2＋2＋ab≥22.
ab证明：由于a、b均为正实数， 11所以2＋2≥2
ab
112·＝， a2b2ab
11
当且仅当2＝2，即a＝b时等号成立，
ab2
又因为＋ab≥2
ab
2·ab＝22， ab
2
当且仅当＝ab时等号成立，
ab112
所以2＋2＋ab≥＋ab≥22，
abab
?当且仅当?2
?ab＝ab，
考点二 11＝，a2b2
4即a＝b＝2时取等号．
利用基本不等式求最值 a[典例] (1)(2013·四川高考)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则
xa＝________.
a
[解析] f(x)＝4x＋≥2
x则由题意知a＝4×32＝36.
[答案] 36
21
(2)(2014·长春调研)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实
xy数m的取值范围是________．
21?4yx4yx＋＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝， [解析] x＋2y＝(x＋2y)??xy?xyxy即x＝2y＝4时等号成立．由x＋2y>m2＋2m恒成立， 可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4 z (3)(2013·山东高考改编)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则的最小值为 xy________． [解析] z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R)， ＋ aa 4x·＝4a(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，xx 22 zx－3xy＋4yx4y∴＝＝＋－3≥2xyxyyx x4y·－3＝1. yx x4y 当且仅当＝，即x＝2y＝4时“＝”成立． yx[答案] 1 z在(3)的条件中，当取最小值时，求x＋2y－z的最大值. xy z解：由(3)知当取最小值时x＝2y. xy∴z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2， ∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2. ∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2. [类题通法] 两个正数的和与积的转化 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． a 注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再 x利用该函数的单调性求解． [针对训练] (1)当x＞0时，则f(x)＝ 2x 的最大值为________． x＋1 2(2)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________． (3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析：(1)∵x＞0， 2x22∴f(x)＝2＝≤＝1， 12x＋1 x＋x1 当且仅当x＝，即x＝1时取等号． x(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1， a＋2b 即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)． 2又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)， ∴3a＋9b≥2×32＝18. 即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18. (3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10. 答案：(1)1 (2)18 (3)10 考点三 基本不等式的实际应用 [典例] 某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年k产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则 m＋1该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [解] (1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)， ∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－ 2 ， m＋18＋16x (元)， x 每件产品的销售价格为1.5× 8＋16x ∴2013年的利润y＝1.5x×－8－16x－m x16?＝－m＋1＋?m＋1??＋29(m≥0)． ??(2)∵m≥0时， 16 ＋(m＋1)≥216＝8， m＋1 ∴y≤－8＋29＝21， 16 当且仅当＝m＋1?m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)． m＋1 故该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． [类题通法] 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． [针对训练] (2013·湖南省五市十校联合检测)某化工企业2012年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)． (1)用x表示y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备． 100＋0.5x＋?2＋4＋6＋?＋2x? 解：(1)由题意得，y＝， x100 即y＝x＋＋1.5(x∈N*)． x(2)由基本不等式得： 100 y＝x＋＋1.5≥2x 100x·＋1.5＝21.5， x 100 当且仅当x＝，即x＝10时取等号． x 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备． [课堂练通考点] 1 1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( ) xA．最大值为0 C．最大值为－4 B．最小值为0 D．最小值为－4 1?1??－x?＋解析：选C ∵x＜0，∴f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，?－x???－x即x＝－1时取等号． 2．(2013·重庆高考改编)?3－a??a＋6?(－6 9 B. 232 D. 2 解析：选B ∵－60，a＋6>0， ∴?3－a??a＋6?≤ ?3－a＋a＋6?2＝9， 2??2 3 当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号， 239 ∴当a＝－时，?3－a??a＋6?有最大值. 22 3．(2013·福建高考)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0,2] C．[－2，＋∞) B．[－2,0] D．(－∞，－2] 1＋＋解析：选D ∵2x＋2y≥22x·2y＝22xy(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2xy≤，∴ 21＋ 2xy≤，得x＋y≤－2. 4 4.?创新题?已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值为________． 解析：由已知a4a14＝(22)2＝8. 再由等比数列的性质有a4a14＝a7a11＝8. 又∵a7>0，a11>0， ∴2a7＋a11≥22a7a11＝8.