意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故选A.
x－y＋2≥0??
6．(2014·江南十校联考)若不等式组?ax＋y－2≤0表示
??y≥0a的值是________．
12?
＋2×2解析： 作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S＝×?2?a?＝3，解得a＝2.
答案：2
x＋4y≥4，??
7．(2013·广东高考)给定区域D：?x＋y≤4，
??x≥0，
的平面区域的面积为3，则实数
令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，
y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．
答案：6
3x－5y＋6≥0，??
8．(2014·郑州质检)若x，y满足条件?2x＋3y－15≤0，
??y≥0y取得最小值，则实数a的取值范围是________．
解析：画出可行域，如图，直线3x－5y＋6＝0与2x＋3y－15＝0交于点M(3,3)，由目标函数z＝ax－y，得y＝ax－z，纵截距为－z，当
当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－
23
z最小时，－z最大．欲使纵截距－z最大，则－
35
23
－，? 答案：??35?
x－4y＋3≤0，??
9．变量x，y满足?3x＋5y－25≤0，
??x≥1，(1)设z＝4x－3y，求z的最大值； y
(2)设z＝，求z的最小值．
xx－4y＋3≤0，??
解：(1)由约束条件?3x＋5y－25≤0，
??x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示． 4z
由z＝4x－3y，得y＝x－. 33
4zz
求z＝4x－3y的最大值，相当于求直线y＝x－在y轴上的截距－的最小值．
33344zz
平移直线y＝x知，当直线y＝x－过点B时，－最小，z最大．
3333
?x－4y＋3＝0，?
由?解得B(5,2)． ?3x＋5y－25＝0，?
故zmax＝4×5－3×2＝14. yy－0(2)∵z＝＝.
xx－0
2
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝. 5
10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y， 所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
5x＋7y＋4?100－x－y?≤600，??
(2)约束条件为?100－x－y≥0，
??x≥0，y≥0，x，y∈N.x＋3y≤200，??
整理得?x＋y≤100，
??x≥0，y≥0，x，y∈N.目标函数为w＝2x＋3y＋300. 作出可行域．如图所示：
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．
???x＋3y＝200，?x＝50，由?得? ?x＋y＝100，???y＝50.
最优解为A(50,50)，所以wmax＝550元．
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最，最大为利润550元． 第Ⅱ组：重点选做题
2x－y＋1＞0，??1．(2013·北京高考)设关于x，y的不等式组?x＋m＜0，
??y－m＞0P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是( )
4
－∞，? A.?3??
2
－∞，－? C.?3??
1
－∞，? B.?3??5－∞，－? D. ?3??
表示的平面区域内存在点
解析：选C 问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则点(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x－2y＝2与阴影部
分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方，由于坐标原点使得x－2y－2＜0，2
故－m－2m－2＞0，即m＜－. 3
x≥0，??
2．记不等式组?x＋3y≥4，
??3x＋y≤4则a的取值范围是________．
所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，
解析：画出可行域，易知直线y＝a(x＋1)过定点(－1,0)，当直线y＝1
a(x＋1)经过x＋3y＝4与3x＋y＝4的交点(1,1)时，a取得最小值；当直线
2y＝a(x＋1)经过x＝0与3x＋y＝4的交点(0,4)时，a取得最大值4，故a的1?
取值范围是??2，4?.
1?
答案：??2，4?
第四节基本不等式
a＋b1．基本不等式ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．算术平均数与几何平均数
a＋b
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：
2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
4
1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． [试一试]
a＋b
1．“a>0且b>0”是“≥ab”成立的( )
2
A．充分不必要条件 C．充要条件 答案：A
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知0 1 B. 22 D. 3 1193 解析：选B 由0 3x＝3－3x，即x＝时等号成立． 2 1．活用几个重要的不等式 ba a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)． aba＋b?2a＋b?2a＋bab≤?(a，b∈R)；??2??2?≤2(a，b∈R)． 2．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． [练一练] 若x>1，则x＋ 4 的最小值为________． x－1 2 2 44 解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1x－14 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． x－1答案：5 考点一 利用基本不等式证明不等式 [典例] 已知a>0，b>0，a＋b＝1， 11 1＋??1＋?≥9. 求证：??a??b? [证明] 法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， a＋b1b1a ∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋. aaabb