不等式 Ax＋By＋C＞0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 2．线性规划中的基本概念 名称 约束条件 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线 各个不等式所表示平面区域的公共部分 意义 由变量x，y组成的不等式(组) 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 可行域 最优解 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
[试一试]
x－y＋1≥0，??1．(2013·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件?x＋y－1≥0，
??x≤3，则z＝2x－3y的最小值是( ) A．－7 C．－5
B．－6 D．－3
解析：选B 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值．
???x＝3，?x＝3，由?得? ??x－y＋1＝0，y＝4，??
∴zmin＝2×3－3×4＝－6，故选B.
2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．
答案：x＋y－1>0
1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．
2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法
azz
将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求
bbb出z的最值．
zz
(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；
bbzz
(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
bb[练一练]
(2013·陕西高考)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域， 则2x－y的最小值是( )
A．－6 C．0
B．－2 D．2
??x?x≥0?
解析：选A 作出函数y＝|x|＝?和y＝2围成的等腰直角三
?－x?x＜0??
角形的可行域(如图阴影部分所示)，则可得过交点A(－2，2)时，2x－y取得最小值－6.
考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域 x≥0，??
1.不等式组?x＋3y≥4，
??3x＋y≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
3
A. 24C. 3
解析：选C 平面区域如图所示．
??x＋3y＝4，解?得A(1,1)， ??3x＋y＝4
2
B. 33 D. 4
40，?， 易得B(0,4)，C??3?48
|BC|＝4－＝.
33184
∴S△ABC＝××1＝.
233x－y≥0，??
2．若满足条件?x＋y－2≤0，
??y≥a整数的点，则整数a的值为( )
A．－3 C．－1
B．－2 D．0
的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是
解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.
3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．
解析：两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0， 又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，
?x＋y－1≥0，?
即?为所表示的可行域． ??x－2y＋2≥0??x＋y－1≥0，答案：?
?x－2y＋2≥0?
[类题通法]
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．
考点二
线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：
?1?求线性目标函数的最值； ?2?求非线性目标的最值； ?3?求线性规划中的参数.
角度一 求线性目标函数的最值
y≤2x，??
1．(1)(2013·湖南高考)若变量x，y满足约束条件?x＋y≤1，
??y≥－1，5
A．－ 25C. 3
B．0 5 D. 2
求目标函数的最值
则x＋2y的最大值是( )
x－y＋1≥0，??
(2)如果函数x、y满足条件?y＋1≥0，
??x＋y＋1≤0，A．2 C．－2
那么z＝2x－y的最大值为( )
B．1 D．－3
解析：(1)选C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y12?11
＝－x＋z，可知该直线经过y＝2x与x＋y＝1的交点A??3，3?时，z有最大22145值为＋＝.
333
(2)选B 如图作出可行域，当z经过直线y＋1＝0与x＋y＋1＝0的交点(0，－1)时，zmax
＝1.
角度二 求非线性目标的最值
2x＋3y－6≤0，??
2．(1)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组?x＋y－2≥0，
??y≥0示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝
答案：2
x－y＋2≤0，??
(2)(2014·深圳调研)已知变量x，y满足约束条件?x≥1，
??2x＋y－8≤0，________．
解析：如图，画出可行域，易得A(2,4)，B(1,6)， ∴它们与原点连线的斜率分别为k1＝2，k2＝6， yy－0yy
又＝，∴k1≤≤k2，即2≤≤6. xx－0xx
|－2|
＝2. 2
所表
y
则的取值范围是x
答案：[2,6]
角度三 求线性规划中的参数
x≥2，??
3．(1)(2013·浙江高考)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足?x－2y＋4≥0，若z的最大值
??2x－y－4≤0.为12，则实数k＝________.