3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． 解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16. ∴a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论
???a＝b＝0，?a>0，
(1)不等式ax＋bx＋c>0对任意实数x恒成立??或?
??c>0，?Δ<0.?
2
?a＝b＝0，?a<0，??
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立??或?
??Δ<0.c<0，??
2．分类讨论思想
解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
[练一练]
若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________． 解析：①当m＝0时，1>0显然成立． ②当m≠0时，由条件知
??m>0，? 2
?Δ＝4m－4m<0.?
得0 考点一 [典例] 解下列不等式： (1)0＜x2－x－2≤4； (2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)． [解] (1)原不等式等价于 22???x－x－2＞0，?x－x－2＞0，?2??2 ??x－x－2≤4x－x－6≤0?? 一元二次不等式的解法 ????x－2??x＋1?＞0，?x＞2或x＜－1，???? ??x－3??x＋2?≤0???－2≤x≤3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}. (2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0. 由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论． 当a＜0时，x＜5a或x＞－a； 当a＞0时，x＜－a或x＞5a. 综上，a＜0时，解集为{x|x＜5a或x＞－a}；a＞0时，解集为{x|x＞5a或x＜－a}. [类题通法] 1．解一元二次不等式的一般步骤： (1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)计算相应的判别式； (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类． [针对训练] 解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0. 4解得－2 ≤x≤， 3 ?4? －2≤x≤?. 所以原不等式的解集为?x?3? ? ? (2)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 1 x－?(x－1)＜0. 因为a＞0，所以a??a?1 所以当a＞1时，解为＜x＜1； a 当a＝1时，解集为?； 1 当0＜a＜1时，解为1＜x＜. a ?1? 1＜x＜?； 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为?x?a? ? ? 当a＝1时，不等式的解集为?； ??1? ??. ＜x＜1当a＞1时，不等式的解集为x?a?? 考点二 一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有： ?1?形如f?x?≥0?x∈R?确定参数的范围； ?2?形如f?x?≥0?x∈[a，b]?确定参数范围； ?3?形如f?x?≥0?参数m∈[a，b]?确定x的范围. 角度一 形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围. 1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________． 解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin2α－cos 2α≤0，2sin2α－(1－2sin2 π5π11 0，?∪?，π?. α)≤0，即－≤sin α≤.因为0≤α≤π，故α∈??6??6?22 π5π 0，?∪?，π? 答案：??6??6? 角度二 形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围 2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围. a－44－a 解：函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的对称轴为x＝－＝. 224－a ①当<－1，即a>6时， 2 f(x)的值恒大于零等价于f(－1)＝1＋(a－4)×(－1)＋4－2a>0， 解得a<3，故有a∈?； 4－a ②当－1≤≤1，即2≤a≤6时， 2 只要f? 4－a4－a??4－a?2 ＝＋(a－4)×＋4－2a>0， 2?2??2? 即a2<0，故有a∈?； 4－a ③当>1，即a<2时， 2只要f(1)＝1＋(a－4)＋4－2a>0， 即a<1，故有a<1. 综上可知，当a<1时，对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零． 角度三 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围 3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围． 解：由f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(a)的值恒大于零， 2 ??g?－1?＝?x－2?×?－1?＋x－4x＋4>0，∴? 2 ?g?1?＝?x－2?＋x－4x＋4>0，? 解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零． [类题通法] 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． (2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 考点三 一元二次不等式的应用 [典例] 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件． (1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式； (2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%? [解] (1)设该商品价格下降后为x元/件， k 则由题意可知年销量增加到?x－4＋a?件， ?? k 故经销商的年收益y＝?x－4＋a?(x－3)，5.5≤x≤7.5. ?? 2a (2)当k＝2a时，依题意有?x－4＋a?(x－3)≥(8－3)a×(1＋20%)， ?? x2－11x＋30化简得≥0， x－4解得x≥6或4 又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5， 即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%. [类题通法] 构建不等式模型解决实际问题 不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解． [针对训练] 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝8 10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． 5 (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． x?1＋8x?. 1－?·解：(1)由题意得y＝100?100?10??50?因为售价不能低于成本价， x 1－?－80≥0. 所以100??10? 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得8x2－30x＋13≤0. 113 解得≤x≤. 24 1?所以x的取值范围是??2，2?. [课堂练通考点] 1．(2013·广东高考)不等式|x2－2|<2的解集是( )