801、
顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．如图，矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），（1）、（2）、（3）是三种不同内接菱形的方式．
①图（1）中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
②图（2）中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
③图（3）中，若EF垂直平分对角线AC，交BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（2）在图（1）、（2）、（3）中，证明图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的；
（3）比较（1）、（2）中矩形ABCD的内接菱形ABGH与EFGH的面积大小；
（4）在矩形ABCD中，你还能画出第4种矩形内接菱形吗？若能，请在（4）中画出；若不能，则说明理由．
考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．
分析：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明，
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等，
③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；
（2）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积； （3）根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论；
（4）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．
解答：解：（1）①∵AH=BG，AH∥BG，
∴四边形ABGH是平行四边形，
又∵BG=AB，∴平行四边形ABGH是菱形， 即四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；（2分）
②连接AC、BD，则EF= AC，EF∥AC；GH= AC，GH∥AC
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵BD=AC，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；（3分） ③∵∠OAF=∠OCE，OA=OC，∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE，
∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF垂直平分对角线AC， ∴FA=FC
∴平行四边形AECF是菱形，
即四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．（4分）
（2）∵S菱形ABGH=a2＜a?AE=S菱形AECF
S菱形EFGH= EG?FH＜ AC?FE=S菱形AECF，
∴图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的．（7分）
（3）∵S菱形ABGH=a2，S菱形EFGH= EG?FH= ab 当a
b时，S菱形ABGH＞S菱形EFGH；
当a= b时，S菱形ABGH=S菱形EFGH； 当a
b时，S菱形ABGH＜S菱形EFGH．（9分）
（4）在矩形ABCD中，还能画出第4种矩形内接菱形
（答案不唯一）．如图，AH=CF，EG垂直平分对角线FH．（10分）
点评：本题综合性较强，主要考查菱形的判定和面积，对学生要求较高，需要在平时的学习中不断努力．
答题：shenzigang老师；审题：Linaliu老师．
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802、
如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF为等边三角形． （1）求∠A的度数； （2）求菱形ABCD的面积．
考点：菱形的性质；等边三角形的性质．
分析：（1）过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．易得△BGE∽△AHG，若设BG=x，
GE=y，则EH=5y，AH=5x，
在△FGE和△DEH中根据勾股定理可以用x，y表示出EF，ED．此时得到一个方程组，解出x，y的值就不难得到∠A的度数；
（2）在直角△AHE中根据三角函数可以求出高EH．则得到菱形的高GH的长，根据菱形的面积公式就可以求出．
解答：解：（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线
于H，G． ∵AD∥CB， ∴△BGE∽△AHE， ∵AB=AD=6，
∴AE=BF=5，CF-BE=1， 令BG=x，GE=y， 则EH=5y，AH=5x， 在△FGE中， 在△DEH中，
根据EF=ED，BE=1，易得EF2=ED2， 即有 ， 解得
，
，
，
，
∴tan∠A= ，
∴∠A=60°；
（2）由以上求得知，EH=AEsin60°= 故
， ．
，
点评：在解直角三角形的一个角的度数时，可以转化为求三角函数的值，已知三角函数值就可以求出角的
度数．
答题：zhjh老师；审题：路斐斐老师．
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803、
已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于点E，交BC于点F． （1）求证：AD2= DE?DB；
（2）过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE＜DE）的长是方程x2-3mx+2m2=0（m＞0）的两个根，且菱形ABCD的面积为
，求EG的长．
考点：菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 专题：代数几何综合题；压轴题．
分析：（1）连接AC交BD于O，根据菱形的性质可得到△AOD∽△EAD，根据相似三角形的对应边成比
例即可得到结果；
（2）先解二次方程，求出BE，DE的值，直接利用（1）的结果，可求出AD的值，再利用勾股定理及三角函数求得AE，EF，BF的值，根据比例线段求得EG的长，再根据菱形的面积可求出m的值，那么EG就求出来了．
解答：解法一：（1）证：连接AC交BD于点O（1分）
∵四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD，BO=OD（2分） ∵AE⊥AD