∵OE=OE，∠OAC=∠OFE=90° ∵△OAE≌△OFE（11分） ∴OA=OF ∴OF=AC 又∵OF+FC=OC ∴AC+AD=OC（12分）
（法3）证明：延长EA到G点，使AG=AE ∵∠OAE=90° ∴OA⊥GE ∴OG=OE ∴∠AOG=∠EOA
∵∠AOC=45°，OP平分∠AOC ∴∠AOE=22.5°
∴∠AOG=22.5°∠G=67.5° ∴∠COG=∠G=67.5° ∴CG=OC（10分） 由（1）得AD=AE ∵AD=AE=AG
∴AC+AD=OC（12分）
点评：（1）利用角平分线的性质和等角的余角相等求出角相等，再根据等角对等边的性质解答；
（2）考查轴对称的性质和四条边都相等的四边形是菱形的判定方法； （3）利用菱形的性质和等腰直角三角形的性质证明．
811、
（2010?上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形； （2）∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．
考点：菱形的判定；勾股定理；梯形． 专题：作图题．
分析：（1）分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，连接AP，
则AP即为∠BAD的平分线，且AP交BC于点E；
可通过证△BOE≌△BOA，得AO=OE，则AD与BE平行且相等，由此证得四边形ABED是平行四边形，而AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得所求的结论；
（2）已知了EC、BE的比例关系，可用未知数表示出BE、EC的长；过D作DF⊥BC于F，在Rt△DEF中，易知∠DEF=∠ABC=60°，可用DE（即BE）的长表示出EF、DF，进而表示出FC的长；在Rt△CFD
中，根据DF、CF的长，可由勾股定理求出CD的长，进而可根据DE、EC、CD的长由勾股定理证得DE⊥DC．
解答：（1）解：如图；
∵AB=AD， ∴△ABO≌△AOD ∴BO=OD ∵AD∥BC，
∴∠OBE=∠ODA，∠OAD=OEB ∴△BOE≌△DOA ∴BE=AD（平行且相等）
∴四边形ABDE为平行四边形，另AB=AD， ∴四边形ADBE为菱形；
（2）设DE=2a，则CE=4a，过点D作DF⊥BC ∵∠ABC=60°，∴∠DEF=60°， ∴∠EDF=30°，∴EF= DE=a，
则DF= ∴
，CF=CE-EF=4a-a=3a，
，构成一组勾股数，
∴DE=2a，EC=4a，CD=
∴△EDC为直角三角形，则ED⊥DC．
点评：此题主要考查了梯形的性质、尺规作图-角平分线的作法、菱形的判定和性质、勾股定理的应用等知
识．
答题：MMCH老师；审题：Linaliu老师．
☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮
812、
（2010?三明）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点． （1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AC=BC，则四边形DECF是什么特殊四边形？请说明理由．
考点：菱形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定． 分析：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边进行证明；
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明．
解答：证明：（1）方法一：∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，
∴DE∥AC，DE= AC，CF= AC．（3）分
∴DE∥CF，DE=CF．
∴四边形DECF是平行四边形，5分）
方法二：∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点， ∴DE∥AC，DF∥BC，（3分） ∴四边形DECF是平行四边形．（5分） 解：（2）四边形DECF是菱形（6分） 理由：∵E、F分别是边BC、CA的中点， ∴CE= BC，CF= AC，
又∵AC=BC， ∴CE=CF．（8分）
由（1）知，四边形DECF是平行四边形， ∴四边形DECF是菱形．（10分）
点评：考查了平行四边形和菱形的判定．
形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等；
③对角线互相垂直平分．．
答题：bjy老师．
隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮
813、
（2010?青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF． （1）求证：BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；
（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，联立（1）的结论，可证得EC=CF，BC=CD；根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相垂直平分，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．