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818、
（2010?河源）如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：PE=PF；
（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗？说明理由； （3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且
．求此时∠A的大小．
考点：菱形的判定；平行线的性质；正方形的判定． 分析：（1）可证明PE=PC，PF=PC，从而得到PE=PF；
（2）由一对邻补角的平分线互相垂直，得出∠ECF=90°，故要使四边形AECF是矩形，只需四边形AECF是平行四边形即可．由（1）知PE=PF，则点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．
（3）由正方形的对角线相等且互相垂直，可知AC⊥EF，AC=2AP．又EF∥BC，得出AC⊥BC，在直角△ABC
中，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求出∠A的大小．
解答：解：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP， 又∵MN∥BC， ∴∠BCE=∠CEP， ∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC； 同理PF=PC， ∴PE=PF；
（2）当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 由（1）可知PE=PF， ∵P是AC中点， ∴AP=PC，
∴四边形AECF是平行四边形． ∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD， 且∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF= （∠BCA+∠ACD）= ×180°， =90°
∴平行四边形AECF是矩形；
（3）证明：若四边形AECF是正方形，则AC⊥EF，AC=2AP． ∵EF∥BC， ∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， ∴cot∠A=
=
，
∴∠A=30°．
点评：此题综合考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，正方形的性质，锐角三角函数的
定义及特殊角的三角函数值等知识点，难度较大．
答题：huangling老师；审题：Linaliu老师．
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819、
（2010?赤峰）两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右C1=90°
滑动，图②是滑动过程中的一个位置．
（1）在图②中，连接BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C．
（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定．
分析：利用全等三角形的性质得出一些条件，然后再进行证明．
解答：（1）证明：∵三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）是两块完全相同的三角板
∴AC=A1C1AB=A1B1∠A=∠A1 ∴在图②中A1B=AB1 ∴△A1BC1≌△AB1C
（2）点B1落在AB边的中点．
如图②所示，由已知条件知BC=B1C1，BC∥B1C1 ∴四边形BCB1C1是平行四边形 要使四边形BCB1C1是菱形 则BC=CB1
∵∠ABC=∠A1B1C1=60° ∴△BCB1为等边三角形 ∴BB1=B1C
∴点B1落在AB边的中点
点评：（1）灵活把握题中隐含的条件是解题的关键．
（2）菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等；
③对角线互相垂直平分．
答题：答案老师．
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820、
（2010?鞍山）①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．
②如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE的延长线与点F．求证：AB垂直平分DF．
考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定． 分析：①（1）由三角形中位线知识可得EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）要是菱形，只需增加相邻两边相等，如要得到EF=GF，由中位线知识，只须AB=CD．
②∵FB∥AC，∠ACB=90°∴∠FBC=90°，由AC=BC、∠ACB=90°∴∠DBA=45°，证AB是∠CBF平分线．明Rt△ADC≌Rt△FBC，所以DB=FB，所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）．
解答：①（1）证明：
∵E、F分别是AD、BD中点， ∴EF∥AB，EF= AB，
同理GH∥AB，GH= AB，
∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形． （2）当四边形ABCD满足AB=CD时，四边形EFGH是菱形． 证明：F、G分别是BD、BC中点，所以GF= CD，
∵AB=CD，∴EF=GF
又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形．
②证明：∵∠ACB=90°，Rt△ADC中，∠1+∠2=90°， ∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3+∠2=90°，得：∠1=∠3．
∵FB∥AC，∠ACB=90°，∴∠FBC=90°，得：△FBC是直角三角形． ∵AC=BC，∠1=∠3，△FBC是直角三角形 ∴Rt△ADC≌Rt△FBC．
∴CD=FB，已知CD=DB，可得：DB=FB．
由AC=BC、∠ACB=90°，可得：∠4=45°，AB是∠CBF平分线． 所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）．
点评：本题考查了中位线知识，平行四边形和菱形的判断方法．
821、