1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即
； ?m T=b（常量）
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
8?hv3?vdv?3?c1ehvkTdv， ?1 （1）
?v?c，
以及
（2）
?vdv???vd?， （3）
有
dvd??c?d????????v(?)d??(?)?v?c?????
?8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：
??hc1??'???6?hc?5???0 hc????kT???e?kT?1?1?e?kT? ?5?hc?1hc?0
??kT1?e?kT8?hc1? ?
5(1?e?hc?kT)?hc?kT
1
如果令x=
hc?kT ，则上述方程为
5(1?e?x)?x
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
hc?mT?
xk把x以及三个物理常量代入到上式便知
?mT?2.9?10?3m?K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，
辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv，
hP?
?如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动???ec2），那么
p2E?2?e
如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51?106eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
h??
p
2
???h2?eEhc2?ec2E1.24?10?662?0.51?10?3?0.71?10?9m?0.71nmm
在这里，利用了
hc?1.24?10?6eV?m
以及
?ec2?0.51?106eV
最后，对
??hc2?ecE2
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是E?3kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K
2时，氦原子的德布罗意波长。
解 根据
1k?K?10?3eV，
知本题的氦原子的动能为
E?33kT?k?K?1.5?10?3eV, 22显然远远小于?核c2这样，便有
??hc2?核cE2
3
?1.24?10?69?32?3.7?10?1.5?10?0.37?10?9m?0.37nmm
这里，利用了
?核c2?4?931?106eV?3.7?109eV
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为
hchc ???222?cE2?kcT据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，
这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T，玻尔磁子MB?9?10?24J?T?1，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
?pdq?nh 其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有
p212E??kx 2?2这样，便有
p??2?(E?12kx) 2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方
4
向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
1E?kx2
2可解出
x???2Ek
这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
?x?x2?(E?12x?1?2kx)dx??x(?)2?(E?2kx2)dx?nh ??
?x?2?(E?1kx2)dx??x?1x2x2?(E?kx2)dx?nh??2x??为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
?x2?(E?1kx2)dx?nh?22
x?2Eksin? 这样，便有
??22?Ecos2?d??2E??sin????nh?k???2 2?2?
???2?Ecos??2Ekcos?d??n22h?
?
?2???2E?cos2?d??n2k2h这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分
?B??22?2E???2ksin?d?
这样，便有
?A?B??2????2E??2E??2kd?k,? （1）
A?B??2???2E?cos2?d?2k???2???Ecos2?d(2?)2k???2?
??Ecos?d?,2k 5