A2A2A2A2A2(4 16 16 16 16)?2?? (12 18 18 18 18)?A2??
上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
???A2A2A21n?(?4?)?2????2??n4162
∴ A?1/??
∴ 动量p的平均值为
p??pn?nn
?0?2k??A2A2A2A216?2???2k??16?2???k??16?2???k??16?2???0 T?p2p2n2???2??n
n ?0?2k2?21k2?21??8?2?2??8?2
5k2??28?
# 3.7 一维运动粒子的状态是
?(x)???Axe??x, 当x?0? 0, 当x?0
其中??0，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由
1???????(x)2dx??2?x0Ax2e?2dx
?14?3A2
∴A?2?3/2
?(x)?2?3/2 xe?2?x ( x ? 0 ) ?(x)?0 (x?0)
c(p)???12???(x)dx?(12??)1/2?2?3/2????e?ikx??xe?(??ik)x?(x)dx 31
??2?31/2 ?()[?xe?(??ik)x0?1???e?(??ik)xdx
2????ik??ik2?31/2x2?31/21?()??() p22??2??(??ik)2(??i)?
动量几率分布函数为 (2)
p?2?3?(p)?c(p)???21(?2??p2)2?2?2?3?3?1(?2?2?p2)2
??????(x)dx??i??4?3xe??x?(x)p*??d??x(e)dx dx
??i?4???x(1??x)e?2?xdx
3??3??????i?4???(x??x2)e?2?xdx
??i?4?3?(12?12)
4?4? ?0 #
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)?Ax(a?x)
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
?2n?sinx, 0?x?a? ?(x)?aa? 0, x?0, x?a?n2?2?2 2， 3， ?) En? (n?1，22?aCn2 动量的几率分布函数为?(E)?
Cn?
?????*(x)?(x)dx??sin0an?x?(x)dx a 先把?(x)归一化，由归一化条件，
?aa2222 1?????(x)dx??0Ax(a?x)dx?A?0x2(a2?2ax?x2)dx
?A22?a5aa5a52a?A(??)?A 3253005(a2x2?2ax3?x4)dx
32
∴A? ∴
Cn??a30 a5
230n??sinx?x(a?x)dx 50aaaaa215n?n?2?[axsinxdx?xsinxdx] ??300aaa215a2n?a3n?a2n??[?xcosx?sinx?xcosx322 an?an?an?a23a ?2an2?2xsinn?ax?2an3?3cosn?ax]0 ?415nn3?3[1?(?1)] ∴ ?(E)?C22402n?n6?6[1?(?1)n]
???960?n6?6，n?1， 3， 5， ?
?? 0，n?2, 4, 6, ? E????a???(x)H?(x)dx??0?(x)?p22??(x)dx ??a30a(x?a)?[??2d205x2?dx2x(x?a)]dx
?30?2a30?2a3a3?a5?0x(x?a)dx??a5(2?3)
5?2
??a2
3.9.设氢原子处于状态
?(r,?,?)?1R3221(r)Y10(?,?)?2R21(r)Y1?1(?,?) 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值
E?e2se2s2??2?2n2???8?2 (n?2) 角动量平方有确定值为
L2??(??1)?2?2?2 (??1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0LZ2???
33
其相应的几率分别为 其平均值为
LZ?133?0?????? 44414，
34
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
??, r?a; U(r)???0, r?a求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在r?a的区域，U(r)??，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数 ??0 (r?a)
由于在r?a的区域内，U(r)?0。只求角动量为零的情况，即??0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?、?无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与?、?无关。设为?(r)，则粒子的能量的本征方程为 令
?21d2d? ?(r)?E?2?rdrdr2?E2U(r)?rE?, k ?2，得
?d2u 2?k2u?0
dr
其通解为
u(r)?Acoskr?Bsinkr AB???(r)?coskr?sinkrrr波函数的有限性条件知， ?(0)?有限，则
A = 0 ∴ ?(r)?Bsinkr
r 由波函数的连续性条件，有 ?(a)?0 ? Bsinka?0
a(n?1,2,?) ∵B?0 ∴ka?n?
34
∴
n? an2?22? En? 22?aBn??(r)?sinr
rak?其中B为归一化，由归一化条件得 ∴
1???0d??a20??0d??2?a0?(r)r2sin? dr2?4???n?Bsinrdr?2? aB2a
B?12? a
sinn?rar ∴ 归一化的波函数 ?(r)?12? a
#
3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)2?(?p)2??
解： p?0
522k? 4? x????A2x[sin2kx?1coskx]2dx?0
2?12x??A2x2[sin2kx?coskx]2dx?? ??2p2?2? T?2 (?x)2?(?p)2?(x2?x3.12 粒子处于状态 ?(x)?(12??2)?(p2?p)??
2)1/2ix2exp[p0x?2] ?4?式中?为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系
(?x)2?(?p)2??
解：①先把?(x)归一化，由归一化条件，得
1???12??2??ex2? 22?dx?12?2?????e? (x2?2)2d(x2?2)
?12?2???(12??1/2 )235