d2?(r)dr2??r?a8?2e?0 3a00 ∴ r?a0是最可几半径。
(4)T??12?p?2???22???22? 1??2?1??1??r 2 ??? r (r ? r)?sin???(sin???)?sin2???2??
T???2?2?2???1?r/a02?r/a020?0?0?a3e?(e)rsin? drd? d?
0?2???2??12??0?0?0?a3e?r/a01d2[r2d?r/a020rdrdr(e)]rsin? drd? d? ?4?2?1(2r?r2?r/a2?a3(?0a0??0a)e0 dr
0 4?2a2a200?2?2?a4(2?)?2?a2
0440 (5)
c(p)????*p(r?)?(r,?,?)d?
c(p)?1(2??)3/2??1?r/a0r2dr???i?prcos?0?a3e0esin? d??2?0d?
0 ?2?r/a0(2?dr?)3/2?a3??0r2e????i?prcos?0e d(?cos?)
0 ?2???i??prcos?(2??)3/2?a3??0r2e?r/a0dr0ipre 0
?2???ii(?a3re?r/a0(e?pr?e??pr2?)?)3/2
0ip?0dr ??0xne?axdx?n!an?1 ?2??(2??)3/2?a30ip[1(1?i?1p)2(1?i] p)2a0?a0? ?14ip2a332 0?ip?a0?(1p2a2??2)0 ?4a440?2a3?3?a222200(a0p??)
?(2a/20?)3??(a2222
0p??) 动量几率分布函数
?(p)?c(p)2?8a3?50?2(a0p2??2)4
26
#
3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
Jer?Je??0
Je??e? m?n?m? rsin?2
证：电子的电流密度为
?? Je??eJ??ei?(?n?m??n*?m??n*?m??n?m)
2? ?在球极坐标中为
??1???e? ??er?rr????e?1?
rsin??????式中er、e?、e?为单位矢量
????1???i?1?*Je??eJ??e[?n?m(er?e??e?)?n?m2??rr??rsin???
????1?1?* ??n?e??e?)?n?m]?m(er?rr??rsin????ie???*?1?**??[er(?n?m?n???)?e(??n?m?mn?mn?m?n?m2??r?rr??
?1?1?*1?** ??n?)?e(?????n?m)]?mn?m?n?mn?mn?mr??rsin???rsin????Je??ie?22?(?im?n?m?im?n?m)e? 2?rsin? ??n?m中的r和?部分是实数。 ∴
??e?m2??n?me? ?rsin?
?0
可见，Jer?Je?
Je???
2e?m?n?m?rsin?
#
3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。
(1)求一圆周电流的磁矩。
(2)证明氢原子磁矩为
27
?me???2? (SI)? M?Mz??me??? (CGS)??2?c 原子磁矩与角动量之比为
?e? (SI)?Mz?2? ??eLz?? (CGS)??2?c这个比值称为回转磁比率。
解：(1) 一圆周电流的磁矩为
dM?iA?Je?dS?A （i为圆周电流，A为圆周所围面积）
??e?m?n?m2dS??(rsin?)2
?rsin?
(dS?rdrd?)
????e?m?e?m?rsin??n?mdS
2??r2sin??n?mdrd?
2
(2)氢原子的磁矩为
?? M??dM??0?0?e?m??n?m2r2sin? drd?
?
??e?m2?2????n?mr2sin? drd? 002?e?m2???22? ??n?mrsin? drd?d? 2??0?0?0 ??e?m (SI)
2?在CGS单位制中 M???e?m
2?c?? 原子磁矩与角动量之比为
MzMe??? (SI) LzLz2?
Mze?? (CGS) Lz2?cL2H?2I
#
3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是
，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下
28
的定态能量及波函数：
(1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2?L2Z 哈米顿算符
221?d2?????HLZ2I2Id?2
?与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (H 令
m2?2IE?2?2d2??(?)?E?(?)2Id?2d?(?)2IE ???(?)d?2?22
，则
d2?(?) ?m2?(?)?0 2d?
取其解为 ?(?)?Aeim? (m可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有
?(??2?)??(?)?eim(??2?)?eim? 即 ei2m??1
∴m= 0，±1，±2，…
m2?2转子的定态能量为Em?2I (m= 0，±1，±2，…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为
?m?Aeim? A为归一化常数，由归一化条件
1????d??A02?*mm2?2?0d??A22??A?12?1im?e 2?
∴ 转子的归一化波函数为
?m? 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
29
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 H??1L?22I H?与t无关，属定态问题，其本征方程为
1?22ILY(?,?)?EY(?,?)
(式中Y(?,?)设为H?的本征函数，E为其本征值) L?2Y(?,?)?2IEY(?,?) 令 2IE???2，则有
L?2Y(?,?)???2Y(?,?) 此即为角动量L?2的本征方程，其本征值为 L2???2??(??1)?2 (??0, 1, 2, ?)
其波函数为球谐函数Ymim??m(?,?)?N?mP?(cos?)e ∴ 转子的定态能量为
?(??1)?2E??2I
可见，能量是分立的，且是(2??1)重简并的。
#
3.6 设t=0时，粒子的状态为 ?(x)?A[sin2kx?12coskx] 求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：?(x)?A[sin2kx?112coskx]?A[12(1?cos2kx)?2coskx] ?A2[1?cos2kx?coskx] ?A2[1?1i2kx?e?i2kx)?1ikx2(e2(e?e?ikx)]
?A2??2[ei0x?1i2kx1e?i2kx?1ikx1?ikx12e?22e?2e]?2?? 可见，动量pn的可能值为0 2k? ?2k? k? 动能
p2n2?的可能值2k2?22k2?2k2?2k2?20 ? ? 2? 2? 对应的几
率
?n应 ?k? 为
为30