∴?2?12? /
p0x? ∴ 是归一化的 ?(x)?exp[i ② 动量平均值为
? p0x? x2 p0x? x2?di?22p???*(?i?)?dx??i??e( p0?? x)e?dx ????dx??2 ??i????( ip0?? x)e ??xdx
??i?2?x2]
?i? ?p0???e ??xdx?i? ????xe ??xdx ?p0
③ (?x)2?(?p)2??
?? x?????*x?dx????xe ??xdx （奇被积函
222??数）
x?2????xe2 ??x221dx??xe??x2?????12??i???e ??xdx
2
22???12?
i2? p0x??x2dp0x??x2?d22??p?????*? dx????ee dx ????dxdx2??22p02 ??(??)?i2??p0???xe??xdx??2?2???x2e??x dx
?2p ??2(??0)?0?(??2?2)1?(??2?p02)
?2?2222 (?x)?x?x?1
2?222 (?p)?p?p?(??2?p02)?p02???2
22 (?x)2?(?p)2?1???2?1?2
2?24#
3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为
?r?R
由测不准关系
36
得
?对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符p为奇宇称，?2(?r)?(?p)?
4?22 (?p)?2
4R22
所以
p?0
又有 (?p)2?p2?p2
所以 22?2p?(?p)?4R2
可近似取
p2??2R2
能量平均值为 P2?e2Es2??r 作为数量级估算可近似取 e2se2sr?R
则有
?2E?e2s2?R2?R 基态能量应取E的极小值，由
?E?2e2s?R???R3?R2?0 得
?2R??e2
s代入E，得到基态能量为
E?e4smin??2?2
补充练习题二
1．试以基态氢原子为例证明：?不是T?或U?的本征函数，而是T??U?的本征函数。
解：?12/2?r/a100?134?(a)2e0 (1? es0a??2) 0
37
?21?2?1?1?2?T??[(r)?(sin?)?]2?r2?r?rsin???sin2???22e???sUr??T100?21?2??100??(r)22?r?r?r
?2113/21?2??r/a0 ??()?2(re)2??a0?r?rr?2113/212?r/a0?212 ??()(2?)e??(2?)?1002??a02?a0a0ra0a0r ?常数??100?的本征函数 ?100不是T
2e????s? U100100r?的本征函数可见，?不是U
100??U?)?而 (T100?2113/212?r/a0es2??()(2?)e??1002??a0ra0a0r
?21?2?2 ???100??100??10022?a0?a0r?a0r?21 ???10022?a0
??U?)的本征函数。 可见，?100是(T
2．证明：L?6?，L???的氢原子中的电子，在?方向上被发现的几率最大。
解： ?W?m(?,?)d??Y?m2d? ∴ W?m(?,?)?Y?m2 L?6?，L???的电子，其??2, m??1
?45?和 135?的
? Y21(?,?)?? Y2?1(?,?)??15sin?cos? ei?8?∴W2?1(?,?)?Y?m当?
15sin?cos? e?i?8?15152?sin2?cos2??sin22? 8?32?
?45?和 135?时
W2?1?15为最大值。即在??45?，??135?方向发现电子的
32?38
几率最大。
在其它方向发现电子的几率密度均在0～
1532?之间。
3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a0、4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大(a0为第一玻尔轨道半径 )。
证：①对1s态，n?1, ??0, R10?(1)3/2e?r/a
0a02W10(r)?r2R10(r)?( 令
132?2r/a0)4rea0?W1012?()34(2r?r2)e?2r/a0?ra0a0
?W10?0 ?r
?r1?0, r2??, r3?a0
易见 ，当?r1?0, r2??时，W10?0不是最大值。 W10(a0)?4?2e为最大值，所以处于a01s态的电子在 r?a0处被
13/2)2a0r3a0e?r/2a0
发现的几率最大。
②对2p态的电子n?2, ??1, R21?( 令
?W21?0 ?rW21(r)?rR212213r42?r/a0?()re22a03a0?W211r?r/a03?r(4?)e5?ra024a0
?r1?0, r2??, r3?4a0
易见 ，当?r1?0, r2??时，W21?0为最小值。
?2W2118rr2?r/a02 ?r(12??2)e25a?r24a0a00?2W21?r2?r?4a0
18?42?4?16a(12?32?16)e??e?0 05324a03a0 ∴ r?4a0为几率最大位置，即在r?4a0的球壳内发现球态
的电子的几率最大。 ③对于3d态的电子
n?3, ??2, R32?(23/21r)()2e?r/3a0 a08115a039
令
?W32?0 ?rW32(r)?r2R32?W32?r11r6e?r/3a072a81?15
82r?2r/3a05?2r(6?)e73a081?15a02?
?r1?0, r2??, r3?9a0
易见 ，当?r1?0, r2??时，W32?0为几率最小位置。
?2W32164r52r6?2r/3a02 ?2(15r??2)e27a09a0?r81?15a0?2W32?r2236a02?81a014?6?2(9a)(15??)e072a081?15a09a0
r?9a0 ??16?6e?035a0
∴ r?9a0为几率最大位置，即在r?9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。
4. 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为
)?0, x?0 (在金属内部 U(x)??U, x?0 (在金属外部)?0 其中 U0?0，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面
的透射系数。
解：设电场强度为?，方向沿χ轴负向，则总势能为
V(x)??e? x (x?0)， V（x）?U0?e? x （ x?0）
势能曲线如图所示。则透射系数为
D?exp[?2x12?(U0?e? x?E)dx] ?x2?式中E为电子能量。x1?0，x2由下式确定
p?2?(U0?e? x?E)?0 ∴ 令
x?x2?U0?Ee?
U0?Esi2n?e?，则有
40