k2kcosk?sinkk22a2asink2a?cosk2ak1k1?02kcosk?sinkk22a2a?(sink2a?cosk2a)1k1?(k2kcosk?sink)(k22a2asink2a?cosk2a)1k1?(k2kcoska?sinka)(k222sink2a?cosk2a)?01k1 (k2kcoskkk22a?sin2a)(ksink2a?cosk2a)?011 k22kkkk2sin2acosk2a?2sin2k2a?2cos2k2a?sink1k2acosk2a?01k1 (?1? k22ksin2k2k2)2a? 2cos2k2a?1k01 (k22?k21)sin2k2a? 2k1k2cos2k2a?0#
解法三：
(11)-(13)?2kk1a2Dsink2a?k1e?(B?F) (10)+(12)?2Dcoskk2a?e?1a(B?F)
(11)?(13)(10)?(12)?k2tgk2a?k1 (a)
(11)+(13)?2k2Ccosk2a??k1(F?B)e?ik1a (12)-(10)?2Csink2a?(F?B)e?ik1a
(11 ) ? (13 )
(12 ) ? (10 )
? k 2 ctgk 2 a ? ? k 1
令 ??k2a，??k2a， 则
? tg??? (c)或? ctg???? (d)
?2??2?(k2?U2220a1?k2)??2 (f)
合并(a)、(b)： tg2kk22a2a?2k1k2 利用tg2k2a?2tgk2?k211?tg2ka 2 #
解法四：（最简方法-平移坐标轴法）
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Ⅰ：??22??1???U0?1?E?1 （χ≤0）
Ⅱ：??22???2??E?2 （0＜χ＜2a） Ⅲ：??22???3??U0?3?E?3 （χ≥2a） ???1???2?(U0?E)?1?0??2 ???????2?E??2?22?0 ?????2?(U0?E)3???2?3?0???1???k2 (1) k21?1?01?2?(U0?E)?2????2??k22?2?0 (2) k222?2?E?束缚态0＜E＜U0???3??k21?3?0 (3)?k1?Ae?1x?Be?k1x?2?Csink2x?Dcosk2x ?3?Ee?k1x?Fe?k1x ?1(??)有限 ?B?0?
3(?)有限 ?E?0因此
??1?Aek1x ??k1x
3?Fe 由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?A?D (4)?1?(0)???2(0),?k1A?k2C (5)??2(2a)??3?(2a),?k2Ccos2k2a?k2Dsin2k2a??k2k1a1Fe? (6)
?2(2a)??3(2a),?Csin2k2a?Dcos2k2a?Fe?2k1a (7)(7)代入(6)
Csin2k2a?Dcos2k2a??k2kCcos2kk2a?2Dsin2k2a 1k1 利用(4)、(5)，得
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k1kAsin2kk2a?Acos2k2a??Acos2k2a?2kDsin2k2a21A[(k1k?k2)sin2k2a?2cos2k2a]?02k1 ?A?0
?(k1k?k2)sin2k2a?2cos2k2a?02k1两边乘上(?k1k2)即得(k2?k221)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0 #
2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为? ??, x?0 ，
U(x)???U0, 0?x?a，
??U1, a?x?b，??0, b?x ， 求束缚态的能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 ?2d2?2?dx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 对各区域的具体形式为
Ⅰ：??22??1???U(x)?1?E?1 (x?0)
Ⅱ：??22???2??U0?2?E?2 (0?x?a) Ⅲ：??22???3??U1?3?E?3 (a?x?b)
Ⅳ：??22???4??0?E?4 (b?x) 对于区域Ⅰ，U(x)??，粒子不可能到达此区域，故 ?1(x)?0
而 . ????2? (U0?E)2?2?2?0 ①
?2? (U1?E)3????2?3?0 ②
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?4???2?2E?4?0
?③
对于束缚态来说，有?U?E?0
???k12?2?0 ∴ ?2k12?2???k3 ?3?3?0
2? (U0?E) 2?2? (U1?E)k32? 2?2k4??2?E/?2
④ ⑤ ⑥
2???k4 ?4?4?0
各方程的解分别为
?2?Aekx?Be?kx?3?Csink2x?Dcosk2x
11?4?Ee?kx?Fe?kx33 由波函数的有限性，得 ?4(?)有限， ?E?0
∴ ?4?Fe?kx 由波函数及其一阶导数的连续，得 ?1(0)??2(0) ?B??A ∴ ?2?A(ekx?e?kx)
?2(a)??3(a)?A(ekx?e?kx)?Csink2a?Dcosk2a ⑦
?(a)??3?(a)?Ak1(eka?e?ka)?Ck2cosk2a?Dk2sink2a ⑧ ?3 ?3(b)??4(b)?Csink2b?Dcosk2b?Fe?kb ⑨
?(b)??4?(b)?Ck2sink2b?Dk2cosk2b??Fk3e?kb ?3⑩
333333333k1ek1a?e?k1aCcosk2a?Dcosk2a由⑦、⑧，得 (11) ?k2ek1a?e?k1aCsink2a?Dcosk2a由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C?(k2sink2b)D?(?k3sink2b)C?(k3cosk2b)D
(k2kcosk2b?sink2b)C?(?2cosk2b?sink2b)D?0 (12) k3k3
联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须
ek1a?e?k1ak1令??k1a?k1a?，则①式变为
k2e?e (?sink2a?cosk2a)C?(?cosk2a?sink2a)D?0
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k2k2(coks2b?sikn2b)(?sikn2b?coks2b)?0 k3k3(?sikn2a?coks2a)(?coks2a?sikn2a)k即 (?cosk2a?sink2a)(2cosk2b?sink2b)?(?sink2a?cosk2a)?k3k2 ?(?sink2b?cosk2b)?0k3 ?k2kcosk2bcosk2a?2sink2bsink2a??sink2bcosk2a?k3k3k2ksink2bsink2a?2sink2bcosk2a)?k3k3k2k)?cosk2(b?a)((?2?1)?0k3k3k2k?)(2??)k3k3
?sink2bsink2a??
??cosk2bsink2a?cosk2bcosk2a?0 sink2(b?a)(?? tgk2(b?a)?(1? 把?代入即得
k2ek1a?e?k1ak2k1ek1a?e?k1a tgk2(b?a)?(1?)(?) k1a?k1ak1a?k1ak3e?ek3k2e?e 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。
#
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
(ek1a?e?k1a)(ek1a?e?k1a)k2000?(ek1a?sink2a?cosk2a0?k2cosk2ak2sink2a0?0sink2bcosk2b?e?k3ak2cosk2b?k2sink2bk3e?k3a?k2cosk2ak2sink2a0?e?k1a)sink2bcosk2b?e?k3a?k2cosk2b?k2sink2bk3e?k3a?sink2a?cosk2a0?e?k1a)?sink2bcosk2b?e?k3ak2cosk2b?k2sink2bk3e?k3a ?k1(ek1a
2?k3a ?(ek1a?e?k1a（)?k2k3e?k3acosk2acosk2b?k2esink2a2?k3a cosk2b?k2k3e?k3asink2asink2b?k2ecosk2asink2b）
?k1(ek1b?e?k1b（)k2k3e?k3bsink2acosk2b?k2e?k3bcosk2a cosk2b?k3e?k3bcosk2asink2b?k2e?k3bsink2asink2b））
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