2?(ek1a?e?k1a)[?k2k3cosk2(b?a)?k2sink2(b?a)]e?k3b ?(ek1a?e?k1a)[k1k3sink2(b?a)?k1k2cosk2(b?a)]e?k3b
2?ek1a[?(k1?k3)k2cosk2(b?a)?(k2?k1k3)sink2(b?a)]e?k3b2 e?k1a[(k1?k3)k2cosk2(b?a)?(k2?k1k3)sink2(b?a)]e?k3b
?02? [?(k1?k3)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e?k3b
2 ?[(k1?k3)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e?k3b?0 [(k?k1k3)e222k1a?(k?k1k3)]tgk2(b?a)?(k1?k3)k2e222k1a
?(k1?k3)k2?0 此即为所求方程。 #
补充练习题一
1、设 ?(x)?Ae(?为常数)，求A = ？ 解：由归一化条件，有
??2??x21 1?A???ed( x)?A???e??x221??2x2222?d(? x)
?A2??1???e?ydy?A221?? 利用
??????e?y2dy?? A? ∴
#
2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解：基态能量为E0?1??
2 设基态的经典界限的位置为a，则有 E0?1??2a2?1?? ∴a? 在界限外发现振子的几率为
? ? a ??? ? ?? x ? ? e dx ? e x dx (? ?
0 ? ? ? ? a
2?2???1??a0
?
0
22
?
22
0
? ??e x ) ?
22
21
?????2??2????a0?e??2x2dx (偶函数性质)?2a0?e?(?x)d(? x)e?ydy222?21
12?2[?e?ydy??e?ydy]??????[??2?2212??t2/2?2??e?t2/2dt] （令y?12t) 式中 当x?
2??1edt为正态分布函数?(x)???e?2???1x?t2/2dt
2时的值?(2)。查表得?(2)??0.92
?[????0.92] ?2(1?0.92)?0.16 ∴???? ∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #
??3、试证明?(x)??e23?122x(2?3x3?3?x)是线性谐振子的波函数，
并求此波函数对应的能量。
证：线性谐振子的S-方程为
?2d21??(x)???2x2?(x)?E?(x) 2?dx21 ①
把?(x)代入上式，有
dd??2?2x2?(x)?[e(2?3x3?3?x)]dxdx3?
???23332?[??x(2?x?3?x)?(6?x?3?)]e23?122x
??2??e3?122x(?2?5x4?9?3x2?3?)1?d2?(x)d???2?2x25432?e(?2?x?9?x?3?)?? 2dx?3?dx?11??2x2???2?2?2x254325332??xe(?2?x?9?x?3?)?e(?8?x?18?x) ??? 3??? 22
??2?x422?(?x?7?)e(2?3x3?3?x) 3??(?4x2?7?2)?(x)d2把2?(x)代入①式左边，得 dx?2d2?(x)1左边?????2x2?(x)22?dx2221?2?2421 ?7??(x)??x?(x)???2x2?(x)2?2?22
???2?2??421 ?7???(x)?（）x?(x)???2x2?(x)
?2?2??2711???(x)???2x2?(x)???2x2?(x)2227 ????(x)2右边?E?(x) ?
当E?7??时，左边 = 右边。 n = 3
2
?d?2?x?(x)?e(2?3x3?3?x)，是线性谐振子的波函
3?dx221数，其对应的能量为7??。
2
第三章 量子力学中的力学量
3.1 一维谐振子处在基态?(x)? (1)势能的平均值U
?1??2x22?e???2x2i2??t2，求：
；
p2(2)动能的平均值T?；
2?11???2x2???222?
? (3)动量的几率分布函数。 解：(1) U????x2e??2x2dx
?1?1?111?2 ??2?222???2????2224??2??2?? 23
?1??
4??2n2(2n?1)?0xe?axdx?1?3?5???2n?1ana (2)
T?p22??1?2?????*(x)p?2?(x)dx 122122??1??22???x?2????ex(??2ddx2)e2dx ???222?2??2????(1??2x2)e??xdx ???22222?2??2[????e??xdx??2????x2e??xdx] ???2?2??2[????2??2?3]
??2?2??22?2???2??2??4???4??? ?14?? 或 T?E?U?12???14???14??
(3) c(p)???*p(x)?(x)dx
?1??22???e?1 2?x2?i???e?Pxdx
?1??1?Px2??????? e?2x22e?idx
?1??12?2(x?ipp2???2?2?22?????2)2?? edx ?1??p22?2?2??2?)222???e???1?2(xip?? edx
?1?p22p22??e?2?2?2????1???e?2?2?2
动量几率分布函数为 2 ?(p)?c(p)2?1?2?2???e?p
#
3.2.氢原子处在基态?(r,?,?)?1?a3e?r/a0，求：
0
24
(1)r的平均值；
e2(2)势能?r的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
?2?? 解：(1)r??r?(r,?,?)2d??13?0?0?0re?2r/ar2sin? drd? d?
0?a0
?43a0??0r3a?2r/a0dr
?
?0xne?axdx?
n! an?143!3?3?a0 42a0?2???a???0?e2e2(2)U?(?)??3r?a0e2??3?a0???00?2??01?2r/a02ersin? drd? d?r???00?2??0e?2r/a0rsin? drd? d?
4e2??3a0??0e?2r/a0r dr
4e21e2??3??2a0?2?a0??a???0?
(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为
?2? ?(r)dr??0?0[?(r,?,?)]2r2sin? drd? d??43e?2r/ar2dr
0a0 令
4?2r/a02er 3a0d?(r)42?3(2?r)re?2r/a0 dra0a0?(r)?d?(r)?0， ? r1?0, r2??, r3?a0 dr 当 r1?0, r2??时，?(r)?0为几率最小位置
d2?(r)4842?2r/a0 ?(2?r?r)e232a0dra0a0 25