?A?2n?sinxaa ?k2?2mE
2??2(x)?
2a
?
?E?2?2n?2ma2n2 (n?1,2,3,?)可见E是量子化的。 对应于En的归一化的定态波函数为 ?
2?(x,t)???sinn?xe?i?Ent, 0?x?an
?aa? 0, x?a, x?a #
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A??1a ???A?sinn?证
：
(xn??a?a), ?? 0, （2.6-14）
由归一化，得
1???2an?ndx???aA?2sin2?a(x?a)dx?A?2?a1n??a2[1?cosa(x?a)]dxa
?A?2A?2n?2x??a2?a?acosa(x?a)dx
a?A?2a?A?2an?2?n?sina(x?a)?a?A?2a ∴归一化常数A??1a #
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：12?(x)???2?xe?2?x22?
x?ax?a11
?1(x)??1(x)?4?2?2
???x2e??2?22x2?3
??x2e??22x
d?1(x)2?323??2x2 ?[2x?2?x]edx?令d?1(x) ?0，得
dx x?0 x??1 x???
? x???时，?1(x)?0。显然不是最 由?1(x)的表达式可知，x?0 ，大几率的位置。
d2?1(x)2?322223??2x2而 ?[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]edx2? 3224??[(1?5?2x2?2?4x4)]e??x? 可见x??1?d2?1(x)4?31 ??2?0 2dx1?ex??2?????是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
?2d2??(x)?U(x)?(x)?E?(x) 2?dx2
①
将式中的x以(?x)代换，得
?2d2??(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x) 2?dx2 ②
利用U(?x)?U(x)，得
?2d2??(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) 2?dx2③
比较①、③式可知，?(?x)和?(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此?(?x)和?(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互
12
进行空间反演 (x??x)而得其对方，由①经x??x反演，可得③，
? ?(?x)?c?(x) ④
由③再经?x?x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
? ?(x)?c?(?x) ⑤
④乘 ⑤，得
?(x)?(?x)?c2?(x)?(?x) 可见，c2?1
c??1
当c??1时， ?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称， 当c??1时， ?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称，
当势场满足 U(?x)?U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#
2.7 一粒子在一维势阱中
??U0?0, x?aU(x)??
x?a?? 0, 运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。
解法一：粒子所满足的S-方程为
?2d2??(x)?U(x)?(x)?E?(x) 2?dx2 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为
?2d2Ⅰ：??1(x)?U0?1(x)?E?1(x)
2?dx2 ???x?a
① Ⅱ
?a?x?a
：
②
?2d2??2(x)?E?2(x) 2?dx2
?2d2Ⅲ：??3(x)?U0?3(x)?E?3(x)
2?dx2 a?x??
③
整理后，得
13
Ⅰ： ?1???2?(U02?E)?1?0 ④
?2? E???2?2?0 ⑤ Ⅱ：. ?2? Ⅲ：?3???2?(U02?E)?3?0
?2?E2 k2?2 令 k12?2?(U02?E) ?? ⑥
则
Ⅰ： ?1???k12?1?0 ⑦
2???k2 Ⅱ：. ?2?2?0 ⑧ ???k12?1?0 ⑨ Ⅲ：?3 各方程的解为
?1?Ae?kx?Bekx?2?Csink2x?Dcosk2x
11?3?Ee?kx?Fe?kx11 由波函数的有限性，有 因此
?1?Bekx1?1(??)有限 ?A?0
?3(?)有限 ?E?0?3?Fe?k1x
1 由波函数的连续性，有
?1(?a)??2(?a),?Be?ka??Csink2a?Dcosk2a (10)
?(?a),?k1Be?ka?k2Ccosk2a?k2Dsink2a ?1?(?a)??2(11)1?2(a)??3(a),?Csink2a?Dcosk2a?Fe?k1a (12)1
?(a)??3?(a),?k2Ccosk2a?k2Dsink2a??k1Fe?ka ?2(13) 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得
e?k1aB?sink2aC?cosk2aD?0?0
k1e?k1aB?k2cosk2aC?k2sink2a D?0?00?sink2aC?cosk2aD?e?k1aF?0
0?k2cosk2aC?k2sink2aD?k1e?k1aF?0 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具
体形式，要方程组有非零解，必须
14
e?k1ak1e?k1a00sink2a?cosk2a?k2cosk2a?k2sink2asink2ak2cosk2acosk2ae00?k1a?0
?k2sink2ak1Be?k1a?k2cosk2a?k2sink2a0?e?k1asink2ak2cosk2asink2a ?k1e?k1asink2a0cosk2a?e?k1a??k2sink2ak1e?k1a?cosk2acosk2a0?e?k1a?
k2cosk2a?k2sink2ak1e?k1a?k1a ?e?k1a[?k1k2e?k1acos2k2a?k2sink2acosk2a?2e?k1a ?k1k2e?k1asin2k2a?k2sink2acosk2a]?2e
?k1e?k1a[k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1acos2k2a? ?k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1asin2k2a] ?e?2k1a[?2k1k2cos2k2a?k22sin2k2a?k1sin2k2a]2 ?e?2k1a[(k22k2a?2k1k2co2sk2a]2?k1)sin2 ∵ e?2ka?0
∴(k22?k12)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0
即 (k22?k12)tg2k2a?2k1k2?0为所求束缚态能级所满足的方程。#
解法二：接（13）式
1k2kCcosk2a?2Dsink2a k1k1 Csink2a?Dcosk2a??k2Ccosk2a?k2Dsink2a k1k1?Csink2a?Dcosk2a? 15