第二十九章锐角三角函数及解直角三角形
29.1 锐角三角函数以及特殊角
（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ）
122232A. B. C. D.1
【解析】sin45°=【答案】B
22
【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。
（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为
A B
A．
12C 图4
B．
551010255 C． D．
【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝
CDAC＝210＝55．
A D B C 图4 【答案】B
【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．
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29.2 三角函数的有关计算
（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ） A．200米 B. 2003米 C. 2203米 D. 100(3?1)米
解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tanA?AB=AD+DB=答案：D
点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。
A 2
( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB= ,则BC的长为
3
（A）4 (B)25 (C)
18 131213 (D) 1313
BC2
= ，又∵AB=6∴BC=4,故选A AB3
8题图 C
B
CDtanA?CDtanB?100tan300CDAD,tanB?CDDB，又CD=100，因此
?100tan450?1003?100。
【解析】由三角函数余弦的定义cosB=【答案】A
【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.
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（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 .（结果保留根号）
解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有设BC=x，则DC=1-x，因此
5?12?5?12x1?1?xx,即x?x?1?0，解方程得，
2BCAC?DCBC，
x1?,x2?（不合题意，舍去），即AD=
5?12；
AB又cosA=2?AD12?5?12?15?1?5?14
答案：
5?12,5?14
点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。
（2012连云港，3，3分）小明在学习―锐角三角函数‖中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是
DCFEAB
2+1 C. 2.5 D.5 第 3 页 共 55 页
A.3+1 B.
【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角为∠FAB。 【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=
BFAB(2?1)xx2x,于是BF=（2+1）x.在直角
三角形ABF中，tan∠FAB=?=2+1=tan67.5°.选B。
【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。
(2012山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，AB?BE，EF?BE，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ） （A）1组
（B）2组
A （C）3组
（D）4组
E D C F
【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB的长为x，则BC=
xtan∠ACBB ，BD=
xtan∠ADB，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则
DEEF?BDAB，
可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三个，故选C． 【答案】C．
【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．
（2012贵州铜仁，22，10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角?的邻边与对边的比叫做角?的余切，记作ctan?, 即ctan?=
解下列问题：
（1）ctan30?= ；
第 4 页 共 55 页 角?的邻边角?的对边?ACBC，根据上述角的余切定义，
22题图 （2）如图，已知tanA=的值．
34，其中∠A为锐角，试求ctanA
【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30
?。
（2）由tanA=
34，
为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA
的值．
【解析】（1）设BC=1, ∵α=30? ∴AB=2
∴由勾股定理得：AC=ctan30=
?
3
ACBC3(2) ∵tanA=
4
=3
∴设BC=3 AC=4 ∴ctanA=
ACBC=
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【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和直角三角形的性质，锐角三角函数往往和直角三角形联系在一起考查。命题时常常和现实中的一些实际问题结合在一起。需要注意的是，在运用三角函数概念及其关系式时，计算易错，名称易混淆；特殊角的三角函数值易混淆，也容易把一个角与其余角的三角函数值混淆。
（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°.
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________； （2）若射线EF经过点C，则AE的长是________.
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