【解析】：AE=
12AB=3.在Rt△ADE中，tan∠ADE=
AEAD?33=3.所以∠ADE=60°，所以
DE=
ADcos?ADE?312AED=∠EDF=∠BEF=30°，所以ED=EF.过点E作EG⊥DC于G，则?23，∠
DF=2DG=2×DE·cos30°=2×23×
32=6；（2）过C作CH⊥直线AB于E，那么CH=AD=3，由勾股定理D得
BH=1。所以CD=7。易知△BCE～△EDC，所以BE：CE=CE：CD，所以CE2=CD×DC，设BE=x，则CE2=7x。在Rt△CEH中，由勾股定理得CE=EH+CH，得（x+1）+3=7x，解之，得x=1或4。当x=1时，AE=5；当x=4时，AE=2。故AE的长为5或2。
【答案】：（1）6；（2）2或5
【点评】：本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.
（2012江苏泰州市，18,3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．
2
2
2
2
【解析】 要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．
22101022【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则BM=DM=，易得：DN=，设PM=x，则PD=-x，
10由△DNP∽△BMP，得：
PNPM?DNBM，即
PNx521122222
∴PN=x，由DN+PN=PD，得：+x=(-x)，?10，
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2解得：x1=
24，x2=2（舍去），∴tan∠APD=
BMPM?2=2．
24【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础，还要注意网格中线段的长度都可以在直角三角形中去解决．
（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ） A．200米 B. 2003米 C. 2203米 D. 100(3?1)米
解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tanA?AB=AD+DB=答案：D
点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。
（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 .（结果保留根号）
CDtanA?CDtanB?100tan300CDAD0,tanB?CDDB，又CD=100，因此
?100tan45?1003?100。
解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有设BC=x，则DC=1-x，因此
x1?1?xx,即x?x?1?0，解方程得，
2BCAC?DCBC，
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x1?5?12,x2??5?12（不合题意，舍去），即AD=
5?12；
AB又cosA=2?AD12?5?12?15?1?5?14
答案：
5?12,5?14
点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。
（2011山东省潍坊市，题号9，分值3）9、轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里 A． 253 B． 252 C．
50 D．25
考点：方位角和等腰三角形的判定
解答：根据路程=速度时间得 BC=50×0.5=25海里； 根据方位角知识得，∠BCD=30°，=75°－30°； CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；
∠A=∠CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里，本题正确答案是D
点评：本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识。在解决方位角问题时，利用平行线的有关知识得到角度的关系，从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路。
（2012湖北襄阳，10，3分）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个
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测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为
A．(43＋1.6)m C．(42＋1.6)m
C
B．(123＋1.6)m D．43m A O E
B
图5
D
【解析】如下图，过点A作AF⊥CD于F，则AF＝BD＝12m，FD＝AB＝1.6m．再由OE∥CF可知∠C＝∠AOE＝60°．所以，在Rt△ACF中，CF＝
C
AFtan60?＝43，那么CD＝CF＋FD＝(43＋1.6)m．
A O E B 【答案】A
【点评】通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键，其间需要具有良好的阅读理解能力，能将对应线段和角之间的关系理清．
（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°.
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________； （2）若射线EF经过点C，则AE的长是________. 【解析】：AE=
12F D
AB=3.在Rt△ADE中，tan∠ADE=
AEAD?33=3.所以∠ADE=60°，所以
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DE=
ADcos?ADE?312AED=∠EDF=∠BEF=30°，所以ED=EF.过点E作EG⊥DC于G，则?23，∠
DF=2DG=2×DE·cos30°=2×23×
【答案】：（1）6；（2）2或5
32=6；（2）
【点评】：本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.
（2012安徽，19，10分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长，
C45°B第19题图
30°A
解析：本题在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边.不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，过点C作CD⊥AB于D,利用构造的两个直角三角形来解答. 解:过点C作CD⊥AB于D,
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=23 ∴CD=AC×sinA=23×0.5=3，
32AD=AC×cosA=23×=3，
在Rt△BCD中，∠B=45°，则BD=CD=3， ∴AB=AD+BD=3+
3
点评：解直角三角形中，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角. 一般三角形中，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角. 这时将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件.
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