第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
【2013年高考会这样考】 1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定． 【复习指导】
从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．
基础梳理
1．任意角 (1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． (3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|l
＝r，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
l
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值r与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l＝|α|r，
11
扇形面积公式：S扇形＝2lr＝2|α|r2. 2．任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，yxy
那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝r，cos α＝r，tan α＝x，它们都是
以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线
一条规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合??π?β|β ＝＋kπ，k∈Z?
2?????kπ
?β?β＝，k∈Z
2???
有向线段AT 为正切线 ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为
??
?. ??
两个技巧
(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．
(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意
(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，
第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
双基自测
9π
1．(人教A版教材习题改编)下列与4的终边相同的角的表达式中正确的是
( )．
A．2kπ＋45°(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z)
9
B．k·360°＋π(k∈Z)
45π
D．kπ＋4(k∈Z)
9π9
解析 与4的终边相同的角可以写成2kπ＋4π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 答案 C
2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )． A．第一或第三象限 C．第二或第四象限
B．第一或第二象限 D．第三或第四象限
解析 当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；
当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角． 答案 A
3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )． A．第一象限角 C．第三象限角
B．第二象限角 D．第四象限角
解析 由sin α＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 答案 C
4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．
525251
A．－5 B.5 C．－5 D．－2 解析 由三角函数的定义可知，r＝5，cos α＝答案 A
5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)25
是角θ终边上一点，且sin θ＝－5，则y＝________.
解析 根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sin θ＝答案 －8
考向一 角的集合表示及象限角的判定
【例1】?(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；
6πθ
(2)若角θ的终边与7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与3角的终边相同的角； α
(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、2所在的象限． [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． π
解 (1)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是3， ∴终边在直线y＝3x上的角的集合为
???π
?α?α＝＋kπ，k∈Z
3???
－15
＝－5. 5
y25
＝－
5?y＝－8. 16＋y2
??
?. ??
6πθ2π2kπ
(2)∵θ＝7＋2kπ(k∈Z)，∴3＝7＋3(k∈Z)． 2π2kπ318
依题意0≤7＋3＜2π?－7≤k＜7，k∈Z.
θ2π20π34π
∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与3相同的角为7，21，21. (3)∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z. ∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.
∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上． α∵k·180°＋45°＜2＜k·180°＋90°，k∈Z，
α当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜2＜m·360°＋90°； 当k＝2m＋1(m∈Z)时，
αm·360°＋225°＜2＜m·360°＋270°； α
∴2为第一或第三象限角．
(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同
的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．
(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可
???π以表示为?x?x＝2kπ－2
???
?????3π
?，k∈Z，也可以表示为?x?x＝2kπ＋2，k∈Z?????
??
?. ??
【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A．α＝－β B．α＝180°＋β C．α＝k·360°＋β(k∈Z) D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)
解析 对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k·360°±180°(k∈Z)． ∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)． 答案 D
考向二 三角函数的定义
2
【例2】?已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sin θ＝4 m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
[审题视点] 根据三角函数定义求m，再求cos θ和tan θ. 解 由题意得，r＝3＋m2，∴
m2
＝m，∵m≠0， 3＋m24