65
∴sin α＝－6，tan α＝5.(12分)
当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终
边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．
4
【试一试】 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋5tan α. 3
[尝试解答] 取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，则|OP1|＝5，则sin α＝－5，43
cos α＝5，tan α＝－4，
4344?3?故sin α＋cos α＋5tan α＝－5＋5＋5×?－4?
??2＝－5；
取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)， 343
则sin α＝5，cos α＝－5，tan α＝－4. 4344?3?4
故sin α＋cos α＋5tan α＝5－5＋5×?－4?＝－5.
??424
综上，sin α＋cos α＋5tan α的值为－5或－5.
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【2013年高考会这样考】
1．考查同角三角函数的基本关系式．
2．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．
【复习指导】
本讲复习时应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律．
基础梳理
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； sin α(2)商数关系：＝tan α.
cos α2．诱导公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan α.
公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α. ?π??π?
公式五：sin?2－α?＝cos_α，cos?2－α?＝sin α.
?????π??π?
公式六：sin?2＋α?＝cos_α，cos?2＋α?＝－sin_α.
????
π
诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，
2π
符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的2变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．
一个口诀
诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 三种方法
在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α化成正、余弦． cos α(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． π(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝?.
4三个防范
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
双基自测
1
1．(人教A版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝，则cos α的值为( )．
21A．± 2C.3 2
1B. 2D．±3 2
1
解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝，
2
13
∴sin α＝－.∴cos α＝±1－sin2α＝±.
22答案 D
2．(2012·杭州调研)点A(sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析 2 011°＝360°×5＋(180°＋31°)，
∴sin 2 011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin 31°＜0， cos 2 011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos 31°＜0， ∴点A位于第三象限． 答案 C
4
3．已知cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．
54343A. B. C．± D．± 3434
3sin α3解析 ∵α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos2α＝，∴tan α＝＝.
5cos α4答案 B
?17π??17π?
?的值是( )． 4．cos?－?－sin?－
4???4?2
A.2 B．－2 C．0 D. 2
π?17π217π?17π??17π?π?
?＝－sin解析 cos?－?＝cos＝cos?4π＋4?＝cos＝，sin?－＝
4?4424????4?π?222?17π??17π?π?
?－sin?－?＝＋＝2. －sin?4π＋4?＝－sin＝－.∴cos?－
4?2422???4??答案 A
1
5．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.
2
sin α1
解析 由题意知cos α＜0，又sinα＋cosα＝1，tan α＝＝－.∴cos α＝
cos α2
2
2
25
－.
5答案 －
25
5
考向一 利用诱导公式化简、求值
【例1】?已知f(α)＝
sin?π－α?cos?2π－α??31π?
，求f??.
?π??3?sin?2＋α?tan?π＋α???
[审题视点] 先化简f(α)，再代入求解． 解 f(α)＝
sin αcos α
＝cos α，
cos αtan α
π?31?31π?π1?
∴f??＝cos π＝cos?10π＋3?＝cos ＝.
332???3?
(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次
数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．
?π?
cos?2＋α?sin?－π－α???
【训练1】 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为
?11π??9π?
－α?sin?＋α?cos??2??2?________． 解析 原式＝3
答案 －
4
考向二 同角三角函数关系的应用
【例2】?(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 2sin α－3cos α求：(1)；
4sin α－9cos α(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α. [审题视点] (1)同除cos α；
(2)利用1＝sin2α＋cos2α，把整式变为分式，再同除cos2α. 解 (1)
2sin α－3cos α2tan α－32×2－3
＝＝＝－1.
4sin α－9cos α4tan α－94×2－9
?－sin α?sin αy3
＝tan α，根据三角函数的定义，得tan α＝＝－.
?－sin α?cos αx4
22
4sinα－3sin αcos α－5cosα
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝ 22
sinα＋cosα
4tan2α－3tan α－54×4－3×2－5＝＝＝1.
tan2α＋14＋1
(1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已
知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练2】 已知
sin α＋3cos α
＝5.则sin2α－sin αcos α＝________.
3cos α－sin α