(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
双基自测
π??
x＋1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos?，x∈R( )． 3???A．是奇函数 B．是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案 C
?π?
2．函数y＝tan?4－x?的定义域为( )．
????π
A.?x?x≠kπ－4??
??πC.?x?x≠kπ＋4??答案 A
π??
3．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|＜2?
??的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )． π??
A．f(x)在?0，2?单调递减
???π3π?
B．f(x)在?，?单调递减
?44?π??0，C．f(x)在?单调递增 2????π3π?
D．f(x)在?，?单调递增
?44?
π??
解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin?ωx＋φ＋4?，由最小正周期为π
??
?，k∈Z?
??，k∈Z?
?
??π
B.?x?x≠2kπ－4，k∈Z????πD.?x?x≠2kπ＋4??
?? ?
?，k∈Z?
?
ππ
得ω＝2，又由f(－x) ＝f(x)可知f(x)为偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)，
42π?ππ?
又|φ|＜可得φ＝，所以f(x)＝2cos 2x，在?0，2?单调递减．
24??答案 A
π??
4．y＝sin?x－4?的图象的一个对称中心是( )．
??A．(－π，0)
?3π?
C.?，0? ?2?
?π?
D.?2，0? ???3π?B.?－，0? ?4?
π
解析 ∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ
4π?3?3π?π?x－＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin?4?的一个对称中心是?－，0?.
44???4?答案 B
π??5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos?2x＋6?的最小正周期为________．
??解析 T＝
2π
＝π. 2
答案 π
考向一 三角函数的定义域与值域
【例1】?(1)求函数y＝lg sin 2x＋9－x2的定义域． π??
(2)求函数y＝cos2x＋sin x?|x|≤4?的最大值与最小值．
??
[审题视点] (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围．
(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．
?sin 2x＞0，
解 (1)依题意?2
?9－x≥0??π??x?－3≤x＜－2??
π?
?kπ＜x＜kπ＋，k∈Z，
2??
??－3≤x≤3，
π?
，或0＜x＜?.
2?
?22?
(2)设sin x＝t，则t∈?－，?.
2??2
?1?25?22?
∴y＝1－sinx＋sin x＝－?t－?＋，t∈?－，?，
2?42???2
2
15π
故当t＝，即x＝时，ymax＝，
264当t＝－
21－2π
，即x＝－时，ymin＝. 242
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函
数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
【训练1】 (1)求函数y＝sin x－cos x的定义域．
π?π?π????
2x－x－x＋(2)已知函数f(x)＝cos?＋2sin?4?·sin?4?，求函数f(x)在区间3????????ππ??－12，2?上的最大值与最小值． ??
解 (1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
π5π
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是442π，所以定义域为 ??5ππ
?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋
44??
?
，k∈Z?.
?
131
(2)由题意得：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)＝
222cos 2x＋
π?313?
sin 2x＋sin2x－cos2x＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin?2x－6?. 222??
π?π5π??ππ?又x∈?－12，2?，∴2x－∈?－，?，
6?36???π??3??
2x－∴sin?∈?－，1?. 6????2?π
故当x＝时，f(x)取最大值1；
3当x＝－
3π
时，f(x)取最小值－. 122
考向二 三角函数的奇偶性与周期性
π??
x－【例2】?(2011·大同模拟)函数y＝2cos?－1是( )． 4???
2
A．最小正周期为π的奇函数 π
C．最小正周期为的奇函数
2
B．最小正周期为π的偶函数 π
D．最小正周期为的偶函数
2
[审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性． π?π?2π??x－2x－解析 y＝2cos??－1＝cos??＝sin 2x为奇函数，T＝＝π. 4?2?2??
2
答案 A
求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把
三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
【训练2】 已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．
解析 由f(x)＝(sin x－cos x)sin x＝sinx－sin xcos x＝π?12?
＝－sin?2x＋4?＋.
2??2∴最小正周期为π. 答案 π
考向三 三角函数的单调性
2
1－cos 2x1
－sin 2x22
?π?
【例3】?已知f(x)＝sin x＋sin?2－x?，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．
??[审题视点] 化为形如f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，再求单调区间． ?π?
解 f(x)＝sin x＋sin?2－x?
??π??
＝sin x＋cos x＝2sin?x＋4?.
??πππ
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
2423ππ
得：－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
44
π??
又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递增区间为?0，4?.
??
求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整
体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． π??
【训练3】 函数f(x)＝sin?－2x＋3?的单调减区间为______．
??
π?π?π????
解析 f(x)＝sin?－2x＋3?＝－sin?2x－3?，它的减区间是y＝sin?2x－3?的增区
??????间．
5πππππ
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数
23212125π?π?
的减区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．
1212??5π?π?
答案 ?kπ－，kπ＋?(k∈Z)
1212??
考向四 三角函数的对称性