在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝2π
期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
ω一个区别
M－m2
，k＝
M＋m2
，ω由周
由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的|φ|量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多
ω少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 两个注意
作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．
双基自测
π??2x－1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin? 的振幅、频率和初相分别为( )． 4???1π
A．2，，－
π41πC．2，，－
π8答案 A
π??2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)?|φ|＜?的部分图象如图所示，则该简谐运动的最
2??小正周期T和初相φ分别为( )．
B．2，D．2，
1π
，－ 2π41π，－ 2π8
π
A．T＝6π，φ＝ 6π
C．T＝6，φ＝
6
π
B．T＝6π，φ＝
3π
D．T＝6，φ＝ 3
π?π?解析 由题图象知T＝2(4－1)＝6?ω＝，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sin?×1＋φ?3?3?ππ
＝1，又|φ|＜，得φ＝.
26
答案 C
π
3．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的
2解析式应为( )．
A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x
?π?解析 由图象的平移得g(x)＝cos?x＋?＝－sin x.
2??
答案 A
π?4π?4．设ω＞0，函数y＝sin?ωx＋?＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω3?3?的最小值是( )． 243
A. B. C. D．3 332
π?4π??4π?π??解析 y＝sin?ωx＋?＋2向右平移个单位后得到y1＝sin?ω?x－?＋?＋2＝
3?3?3?3???π4π?4π?sin?ωx＋－ω?＋2，又y与y1的图象重合，则－ω＝2kπ(k∈Z)．
33?3?3
∴ω＝－k.又ω＞0，k∈Z，
2
3
∴当k＝－1时，ω取最小值为，故选C.
2答案 C
5．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.
T2ππ42π3
解析 由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.∴ω＝＝.
43333T2
3
答案
2
考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
π???π?【例1】?设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)?ω＞0，－＜φ＜0?的最小正周期为π，且f??＝2???4?
3. 2
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ； (2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．
2π
解 (1)周期T＝＝π，∴ω＝2，
ω
?π??π∵f??＝cos?2×＋φ
4?4???＝cos?π＋φ?＝－sin φ＝3，
??2?2???
ππ
∵－＜φ＜0，∴φ＝－.
23
π??(2)由(1)知f(x)＝cos?2x－?，列表如下：
3??
π2x－ 3－π 30 π 61 π 25π 120 π 2π 3－1 3π 211π 120 5π 3π 1 2x f(x) 图象如图：
0 1 2
(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．
(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx?φ?＋φ＝ω?x＋?来确定平移单位． ?ω?
?1π?【训练1】 已知函数f(x)＝3sin?x－?，x∈R.
4??2
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 解 (1)列表取值：
x 1πx－ 24π 20 0 3π 2π 23 5π 2π 0 7π 23π 2－3 9π 22π 0 f(x) 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
π
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，
4再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．
考向二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】?(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
[审题视点] 由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.
T7ππππ
解析 由图可知：A＝2，＝－＝，所以T＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋，令k＝0，
412343
2πππ?π?ω＝＝2，又函数图象经过点?，0?，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析T33?3?π?π6?式为f(x)＝2sin?2x＋?，所以f(0)＝2sin＝. 3?32?答案
6
2
解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的
周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．
π
【训练2】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的图象的一部分如图所示．
2
(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．
解 (1)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)， 1
即sin φ＝.
2
ππ11
∵|φ|＜，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，
261211ππ
∴ω＋＝2π，∴ω＝2. 126π??∴f(x)＝2sin?2x＋?.
6??
π
(2)设2x＋＝B，则函数y＝2sin B的对称轴方程为
6
B＝＋kπ，k∈Z，
ππ
即2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
62解上式得x＝
π2
kπ
2
＋
π
(k∈Z)， 6
π?kππ?∴f(x)＝2sin?2x＋?的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． 6?26?
考向三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
【例3】?(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜ππ
φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为
22
M?
?2π，－2?.
?
?3?
?π，π?时，求f(x)的值域．
?
?122?
(1)求f(x)的解析式； (2)当x∈?