[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x的范围，求得2x＋π
的范围，再求得f(x)的值域． 6
解 (1)由最低点为M?
?2π，－2?，得A＝2.
?
?3?
πTπ2π2π
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2.由
222Tπ点M?
?2π，－2?在图象上，得2sin?2×2π＋φ?＝－2，即sin?4π＋φ?＝－1.
????3?3?3?????
4ππ11π
故＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－(k∈Z)． 326π?π?又φ∈?0，?，所以φ＝.
2?6?π??故f(x)的解析式为f(x)＝2sin?2x＋?.
6??π?π7π??ππ?(2)因为x∈?，?，所以2x＋∈?，?.
6?6?3?122?πππ
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
626π7ππ
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.
662故函数f(x)的值域为[－1,2]．
1
利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周
2
期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体．
【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点
????P?，0?，图象上与点P最近的一个最高点是Q?，5?. 123?
?
?
?
(1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间．
ππ
?ππ?解 (1)依题意得：A＝5，周期T＝4?－?＝π，
?312?
2π?π?∴ω＝＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P?，0?， π?12?
∴5sin?
?π＋φ?＝0，
??6?
ππ由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－
66π??∴y＝5sin?2x－?.
6??
πππ
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
262ππ
得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
63
ππ??故函数f(x)的递增区间为：?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．
63??
规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题
【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．
(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．
【解决方案】 ①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，可通过引入辅助角
?
φ?cos φ＝?
a2a＋b，sin φ＝2?22
?，将原式化为y＝a＋b·sin(x＋φ)＋c的形式a＋b?
222
b后，再求值域(或最值)；②形如y＝asinx＋bsin x＋c的三角函数，可先设t＝sin x，将原式化为二次函数y＝at＋bt＋c的形式，进而在t∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，将原式化为12
二次函数y＝±a(t－1)＋bt＋c的形式，进而在闭区间t∈[－2，2]上求最值．
2
2
?π?【示例】?(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cos xsin ?x＋?－1.
6??
(1)求f(x)的最小正周期；
?ππ?(2)求f(x)在区间?－，?上的最大值和最小值．
?64?
2π?ππ? 首先化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，由T＝求得：由x∈?－，?，求ω?64?
得ωx＋φ的范围，从而求得最值．
?π?[解答示范] (1)因为f(x)＝4cos xsin?x＋?－1
6??
＝4cos x?
1?3?
sin x＋cos x?－1
2?2?
2
＝3sin 2x＋2cosx－1＝3 sin 2x＋cos 2x π??＝2sin?2x＋?，(4分)
6??
所以f(x)的最小正周期为π.(6分)
ππππ2π
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.(8分)
64663πππ
于是，当2x＋＝，即x＝时，
626
f(x)取得最大值2；(10分)
πππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.(12分)
666
解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函
数等来解决．
53?π?2
【试一试】 是否存在实数a，使得函数y＝sinx＋acos x＋a－在闭区间?0，?上的最
2?82?大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由． 1?2a51?[尝试解答] y＝－?cos x－a?＋＋a－，
2?482?
π
当0≤x≤时，0≤cos x≤1，令t＝cos x，则0≤t≤1，
2
2
?1?2a51
∴y＝－?t－a?＋＋a－，0≤t≤1.
?2?482
当0≤≤1，即0≤a≤2时，则当t＝，即cos x＝时．
222
2
aaaymax＝＋a－＝1，解得a＝或a＝－4(舍去)．
4
8
当＜0，即a＜0时，则当t＝0，即cos x＝0时， 2
a25
1232
aymax＝a－＝1，解得a＝(舍去)．
当＞1，即a＞2时，则当t＝1，即cos x＝1时， 2
5812125
aymax＝a＋a－＝1，解得a＝(舍去)．
3
综上知，存在a＝符合题意．
2
58322013