∴m＝±5，
故角θ是第二或第三象限角．
当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， x－36
∴cos θ＝r＝＝－4，
22ytan θ＝x＝
15＝－3. －35
当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． x－36y－515
∴cos θ＝r＝＝－4，tan＝x＝＝3.
22－3
任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P
的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．
【训练2】 (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )． 4334
A．－5 B．－5 C.5 D.5
5
解析 取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±5，3故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－5. 答案 B
考向三 弧度制的应用
【例3】?已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值； (2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．
解 (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形， π
∴α＝∠AOB＝60°＝3.
π
(2)由(1)可知α＝3，r＝10， π10π
∴弧长l＝α·r＝3×10＝3， 1110π50π∴S扇形＝2lr＝2×3×10＝3，
11031103503
而S△AOB＝2·AB·2＝2×10×2＝2， ?π3?∴S＝S扇形－S△AOB＝50?－?.
?32?
弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积
公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．
【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
解 设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40， 11?20?S＝2lr＝2r(40－2r)＝r(20－r)≤?2?2＝100.
??当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100.
∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．
考向四 三角函数线及其应用
【例4】?在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：
31
(1)sin α≥2； (2)cos α≤－2. 31
[审题视点] 作出满足sin α＝2，cos α＝－2的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解
3
(1)作直线y＝2交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
???π2
?α?2kπ＋≤α≤2kπ＋π，k∈Z
33???
??
?. ??
1
(2)作直线x＝－2交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
???2?α?2kπ＋π3???
??4
≤α≤2kπ＋3π，k∈Z?.
??
利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：
(1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．
【训练4】 求下列函数的定义域： (1)y＝2cos x－1； (2)y＝lg(3－4sin2x)． 1
解 (1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥2.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．
ππ??
∴定义域为?2kπ－3，2kπ＋3?(k∈Z)．
??(2)∵3－4sin2x＞0， 3
∴sin2x＜4，
33∴－2＜sin x＜2.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
ππ??
∴定义域为?kπ－3，kπ＋3?(k∈Z)．
??
规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值
【问题研究】 三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重yx
合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r(r＝x＋y＞0)，则sin α＝r、cos α＝r、22y
tan α＝x分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．
【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．
【示例】?(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，3
且cos α＝6x，求sin α、tan α的值．
只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在
的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值． [解答示范] ∵P(x，－2)(x≠0)， ∴P到原点的距离r＝x2＋2，(2分) 3
又cos α＝6x， ∴cos α＝
x3
＝x， x2＋26
∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.(6分)
当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，
65
由三角函数定义，有sin α＝－6，tan α＝－5；(9分) 当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，