第六章 刚体运动学
第一节．刚体和自由度的概念
刚体：物体上任意两点间的距离保持不变。
通俗地说：大小和形状保持不变的物体。
刚体和质点都是对实际物体的抽象。刚体考虑了物体的体积效应，但忽略了物体的形变。与质点相比，刚体更加接近实际物体。 自由度：确定一个物体的位置所需要的独立坐标数。 质点的位置：x，y，z三个空间坐标，3个自由度。 刚体的运动：任意点的平动＋绕该点的转动
点的平动：3个自由度；绕定点转动：3个自由度，6个自由度。
第二节 刚体的平动
运动过程中，刚体上任意一条直线始终保持和自身平行—平动。 平动时，刚体上各点的运动轨迹都相同。因此只要知道某一点的运动状态就知道了整个刚体的运动状态。
x z B rB rA A y rB?rA?AB drBdrAdAB??dtdtdt
drAdr?vA,B?vBdtAB为常矢量，dt
vA?vB
再对时间求导得：
dvAdvB?dtdt
aA?aB
可见，刚体作平动时，各点的速度和加速度都相同。 书中例题5.1(P.182)
装置如图，曲柄长度为r，与x轴的夹角φ＝ωt，其中ω为常量。 求：T形连杆在t时刻的速度和加速度。
解：T形连杆的运动为平动，∴连杆上任意点的速度和加速度都相同。以杆上M点为研究对象：
x＝rcosωt O ω φ M 对时间t求导得速度和加速度：
v＝－rωsinωt a＝－rω2cosωt
第三节 刚体绕定轴转动
定轴转动的实例很多：电机转动，开关门，等等。 刚体绕一固定轴转动，转过的角度θ称为角位移。 角位移的单位：rad（弧度） ；角位移的方向：右手定则， 符合右手定则的方向为“＋”；反之为“－” 角位移随时间的变化关系表示为：
θ＝f（t）
角速度：描述刚体转动快慢的物理量。 单位：rad/s （弧度/秒） ；方向：右手定则 角速度是角位移随时间的变化率：
??d?df(t)??lim??t?0?tdtdt
角加速度：描述刚体角速度变化快慢的物理量。 单位：rad/s2 （弧度/秒2）；方向：右手定则 角加速度是角速度随时间的变化率：
??d?d2?d2f(t)??lim??2?t?0?tdtdtdt2
定轴转动是一维运动，当函数给定后，和直线运动的情况基本相同。
生活中描述转动方向按顺时针和逆时针方向。 物理中描述转动方向按右手定则。
工程上转速的单位经常用：转/分钟 （r/min） 最常用的电机转速为：3000转/分钟 发电机的转速：50转/秒＝3000转/分钟
书中例题5.2(P.184)
飞轮的角速度在12s内由1200r/min均匀地增加到3000r/min。 求：（1）飞轮的的角加速度；（2）在这段时间飞轮转过的圈数。 解：先将单位由 转/分 换成 弧度/秒 ω1＝1200×2π/60＝40π (rad/s) ω2＝3000×2π/60＝100π (rad/s) ∵匀加速，t＝12s，
∴β＝（ω2－ω1）/t＝（100－40）π/12＝5π＝15.7(rad/s2) 角速度随时间的变化关系可通过β积分和初条件求得：
????dt??t?c
当t＝0时，ω＝ω1
∴ω＝ω1＋βt
角位移随时间的变化关系可通过ω积分和初条件求得：
???(?1??t)dt??1t??t2?c'12
其中c’由初条件确定。 因为要求的是12s内转过的角度，可令t＝0时，θ＝0，代入得c’＝0
∴
???1t??t2?40??12??5???122?840?(rad)N?840??4202?（圈）
1212
换算成圈数为：
第四节 角量与线量的关系
定轴转动中，刚体上一点到转轴的距离为r，该点线量度和角量之间的关系为：
S＝θr ；v＝ωr ；a切向＝βr ；a法向＝v2/r＝ω2r2/r＝ω2r 由于刚体没有形变，所以刚体的法向加速度不重要。 考虑方向后：
s＝θ×r v＝ω×r a＝β×r
作业：P. 191 5.9 ; 5.10