以z轴为转轴，刚体对z轴 的转动惯量为：
z d z’ J??mi(xi2?yi2)和y坐标，且：
xi＝xc＋xi’； yi＝yc＋yi’
x’ C(xc,yc,zc) y’ 其中xi和yi是质点的x坐标
y
x
其中xc和yc是刚体质心的x坐标和y坐标， xi’和yi’是质点在质心坐标系中的x’坐标和y’坐标 代入得：
J??mi[(xc?xi')2?(yc?yi')2]其中
??mi(xc2?yc2)?2xc?mixi'?2yc?miyi'??mi(xi'2?yi'2)?mx'?mx'?0； ?miiciyi'?myc'?0
表示质心在质心坐标系中的坐标为0
xc2+yc2=d2为质心到转轴的距离；
22m(x'?y'?iii)?Jc
为刚体对过质心转轴的转动惯量。 ∴ J＝Jc＋md2
例：书中例题6.1求了杆通过中心轴的转动惯量，用平行轴定理，
求过端点且与杆垂直的轴的转动惯量。
解：两平行轴的间距为d＝L/2，根据平行轴定理
J?Jc?md2?12?1?1ml?m?l??ml212?2?3
2例：过园盘边缘与园盘中心轴平行的轴的转动惯量。 园盘对其中心轴的转动惯量为：1/2 MR2 两轴之间的距离为R，根据平行轴定理：
1322I?Ic?md?mR?mR?mR222
2这种情况用直接积分比较困难。
(2)垂直轴定理
对于无穷薄的薄板，建立坐标 轴oxyz，其中oxy平面在薄板 平面内，z轴与薄板垂直。
yi xi x y z Jz＝Jx＋Jy
证明：
22222Jz??mr?m(x?y)?mx?my?iii?ii?iiii
＝Jx＋Jy
例题：均匀薄圆板，质量为m，半径为R。 求：过圆心且在板面上的转轴的转动惯量。 解：薄板对过圆心且与薄板 垂直转轴（z轴）的转动惯量 为Jz＝1/2 MR2，根据对称性， 薄板对x轴和对y轴的转动惯量相同， Jx＝Jy，根据垂直轴定理：
Jz＝Jx＋Jy ＝2Jx Jz＝1/2 MR2 Jx＝1/4 MR2 补充例题：
y x 半径为R，长为L，质量为M的实心圆柱体对中心直径的转动惯量。
解：从圆柱上切下一个 薄圆片dM，它对x轴 的转动惯量为： dJx＝? dMR
2
z z’ dM x L x 用垂直轴定理，得出它对z’轴的转动惯量为： dJz’＝?dMR2 其中dM＝M/Ldx 用平行轴定理，得出它对z轴的转动惯量为：
dJz＝?dMR2＋dMx2 从－?L到＋?L积分得
J??
L2L?21M2112RdM?xdx?MR?ML24L412
第三节 转动定理的应用
M=Jβ (4) 刚体转动定理 书中例题6.3 (P201)
已知：滑轮半径为R，质量为M，绳 子不可伸缩的轻绳，绳子与滑轮间无 滑动，轴处无摩擦，两个悬挂物的质 量分别为m1，m2。
求：两重物的加速度，滑轮的角加速度， 绳中的张力。
解：用隔离物体法分析力，并列出动力学方程。 园盘：
园盘的转动惯量：J＝1/2MR2 T’1的力矩：R T’1 T’2的力矩：R T’2
园盘的角加速度：β ; β的方向与RT’1方向相同：
T’2
T’1
m2
m1
R T’1－R T’2＝Jβ m1: m1g－T1＝m1a m2： T2－m2g＝m2a ∵ 绳子是轻绳，
∴ T1＝T’1 ； T2＝T’2
∵绳子与滑轮间无滑动，∴a＝βR ——牵连关系 解方程得：
m2g
m1g
T2
T1
m1?m21gRm?m?1M122
m1?m2a?g1m1?m2?M2
??12m1m2?Mm12T1?g1m1?m2?M2 12m1m2?Mm22T2?g1m1?m2?M2
中学见过这类问题很多，但滑轮都是轻滑轮，不考虑滑轮的质量，M＝0，将其代入上面的方程得：
a?
m1?m22m1m2gT1?T2?gm1?m2 ； m1?m2