M＝－mgh θ
d2?J2??mgh?dt
d2?mgh???02J整理得： dt
令ω2＝mgh/J，得标准方程
d2?2????02dt
说明在摆角很小时，复摆是作简谐振动。
2.周期、频率和角频率（园频率）
周期：完成一次完全振动所需要的时间T
Acos（ωt＋φ）＝Acos[ω(t+T)＋φ] ωT＝2π T＝2π/ω
频率：每秒钟内完全振动的次数。
1????T2? ω＝2πν
∴ω与ν都是频率，两者之间相差2π倍，ω通常称为角频率，或园频率
??k1??m， 2?kmT?2?m， k 对于弹簧振子：
对于单摆： 对于复摆：
??g1??l， 2?mgh1??J，2?lgT?2?g l，
JmghT?2?mgh J，??∴周期和频率是由振动系统决定的。
对于一个确定的系统，其频率虽然确定，但其运动状态还要由初条件决定。
3.振幅、相位和初相位
振幅：由简谐振动的运动学方程可以看到，位移x的最大绝对值为A，称为振幅。振幅的大小由初条件决定： 当t＝0时，位移x＝x0，速度v＝v0 x0＝Acos（ωt＋φ）|t=0＝Acosφ
（1）
v0＝－ωA sin（ωt＋φ）|t=0＝－Aωsinφ （2） 由两式平方和即可求出振幅
A?x?202v0?2 相位：由简谐振动的运动学方程可以看到，（ωt＋φ）是一个角度，称为简谐振动的相位，它决定振动物体在任一时刻的位置和运动状态。
当t＝0时，振动的相位为φ，称为初相位。 由（1）（2）式可解出φ
tg???v0?x0
书中例题7.1(P.237)
已知：A＝8cm，T＝4s，t＝0时，x＝4cm，向x轴正方向运动。 求：初相位
解：振动方程为：x＝Acos（ωt＋φ） 由已知条件：A＝0.08 m，ω＝2π/T＝π/2， t＝0时，x＝0.04 m，代入得： 0.04＝0.08cosφ
所以 φ＝π/3 或 φ＝5π/3 由于是向x轴正方向运动，φ＝5π/3 振动方程为：
5????x?0.08cos?t??3??24.简谐振动的速度和加速度
知道了简谐振动的运动方程，通过求导便可得到速度与加速度。 x＝Acos（ωt＋φ）
v＝－ωAsin（ωt＋φ）＝ωAcos（ωt＋φ＋π/2） a＝－ω2Acos（ωt＋φ）＝ω2Acos（ωt＋φ＋π） 由此看出：
速度与位移的相位相差π/2
加速度与速度的相位相差π/2 加速度与位移的相位相差π
5.简谐振动的能量
以弹簧振子为例
12122E?kx?kAcos(?t??)势能： p22动能： Ek?1mv2?1m?2A2sin2(?t??)22ω＝k/m ? = 1kA2sin2(?t??)2总能量： E?Ep?Ek1/2 kx2
12?kA[cos2(?t??)?sin2(?t??)]22 121/2 mv?kA2
简谐振子的总能量与振幅的平方成正比。
在简谐振动过程中，动能与势能之间互相转换，但总能量保持恒定。
这个结论虽然是从弹簧振子得到的，对于单摆和复摆也依然适用。
6.简谐振动的矢量表示法
从简谐振动的表达式x＝Acos（ωt＋φ）与一个矢量A在x轴上的投影值相同。所以可用一个旋转的矢量在x轴上的投影表示简谐振动。
规定：一长度等于振幅的矢量A，称为振幅矢量，以匀角速度ω0绕O点旋转，在t＝0时，振幅矢量A与x轴的夹角为初相位φ，t时刻矢量A与x轴的夹角为（ωt＋φ），该矢量在x轴上的投影为：
x＝Acos（ωt＋φ） 与简谐振动的表达式一样。
同时，矢量A对时间t的一次导数与二次导数也和简谐振动的速度与加速度的表达式一样。 v＝ωAcos（ωt＋φ＋π/2） a＝ω2Acos（ωt＋φ＋π） 书中例题7.7(P.245)
已知：角频率ω和振幅A，用旋转矢量法求以下情况的初相位和运动学方程：
t＝0时，由平衡位置向x负方向运动。
t＝0时，在x负方向一侧，离开平衡位置为振幅的一半，且向x轴负方向运动。 解：（1）
x
A A
v a A ωt＋φ