以轮的轴心为圆心，半径为r，宽度dr的环所受的压力为： dF?F?2?r?dr?R2环所受的摩擦力为： df??dF??F?2?r?dr?R2对转轴的力矩为：
F2 dM?rdf??R22rdr整个圆盘所受摩擦力矩为：
F22rdr??FR?0R23由转动能定理： M?R2?2 M??1J?02 3mR?02??8?F
书中习题6.22（p228）
一均质细杆，长L=1m，可绕通过一端的水平光滑的轴O在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于铅直位置。一子弹沿水平方向以v=10m/s的速度射入杆，射入点距离O点的距离为3L/4，子弹的质量为杆质量的1/9。
试求：(1)子弹与杆共同运动的角速度。
(2)杆的最大摆角θ。
??31l?mv?LMv49解：射入前，子弹的动量矩 射入过程动量矩守恒
2??311?3?12LMv??M?L??ML??493???9?4??4v???2.1(rad/s)19L入射后，子弹与杆共同摆动，机械能守恒
2??2?111?3?132?M?L??ML????MgL?Mg 2?9?4?34?9??? 2v2cos??1??0.8466133LgL?(1?cos?)?2?
??32.160刚体定点转动——进动
dLM?dt
L＝Jω dL＝Jωdθ
dL d
d?M?J??J??dt
Ω称为进动角速度。
作业：P. 226 6.5 ; 6.6 ; 6.17 ; 6.21
第八章 机械振动
第一节简谐振动
1.简谐振动的动力学方程
如果一个质点受到这样一个力：
F＝－kx （1）
即：力的大小与位移成正比，方向与位移方向相反。 将其代入牛顿第二定律，得：
d2xm2??kxdt （2）
进行小的变换得：
d2xk?x?02dtm (3)
再写得好看一点：令k/m＝ω2
d2x2??x?02dt
（4）
这是一个典型的微分方程，该方程的解为：
x＝Acos（ωt＋φ）
（5）
验证该方程的解，对（5）进行求导运算：
dx???Asin(?t??)dt
d2x2???Acos(?t??)2dt
代入（4）式
－ω2Acos（ωt＋φ）＋ω2Acos（ωt＋φ）＝0 （5）式中各项的名称：
A：振幅，振动幅度的大小，由初条件决定。 ω：角频率（园频率），振动系统固有的 φ：初相位，由初条件决定。
以时间的正弦或余弦函数表示的运动称为：简谐振动。 哪些情况下可以简谐振动？ (1)弹簧振子
轻弹簧的一端固定，另一端系一质量为m的物体，放在光滑的水平面上，弹簧由原长位置移开x距离所受到的力为：
F＝－kx ω2＝k/m
d2x2??x?02dt
(2)单摆
不可伸长的轻绳L悬挂一质量为m的小球，在铅垂面内沿圆弧
摆动，受力为： F＝－mg sinθ
在一般情况下，单摆不是作简谐振动。 当θ角很小时（<5o），sinθ≈θ， 这时：
F＝－mg θ
代入牛顿第二定律：
d2(L?)m??mg?2dt d2?g???02L整理得： dt
令ω2＝g/L，得标准方程
d2?2????02dt
说明在摆角很小时，单摆是作简谐振动。
1米长的线，摆角为50是，振幅为8.7厘米(sin50＝0.087) (3)复摆
质量为m的刚体，转动惯量为J，悬挂于不通过质心C的水平转轴，转轴到质心的距离为h，在重力作用下绕平衡位置来回摆动。 刚体所受力矩：
M＝－mgh sinθ
在一般情况下，单摆不是作简谐振动。 当θ角很小时（<5o），sinθ≈θ， 这时：
C