第七章 刚体动力学
第一节 刚体定轴转动与转动定理
复习： 力矩定义： 动量矩定义为：
M?r?F L?r?mv
d(r?mv)dL?dtdt
M?动量矩定理：
将刚体看成由一组特殊的质点组成，其特殊性就是：任意两质点间的距离保持不变。对于质点组中任意一个质点i，可根据动量定理写出它所受到的力矩与动量矩之间的关系：
d(ri?mivi)Mi?dt
其中Mi为质点i所受的力矩，包括外力作用在该质点的力矩Mi外和质点组内相互作用的的力矩Mi内。
∴
d(ri?mivi)Mi外?Mi内?dt (1)
对质点组中每一个质点求和得：
d(ri?mivi)Mi外??Mi内???dtiii (2)
在刚体内部，作用力与反作用力总是成对出现的，并且大小相等，
方向相反，作用在一条直线上，这对力所产生的力矩也是大小相
?对，方向相反的。因此，所有内力矩的求和为0。?Mi内?0。
i刚体在做定轴转动是一维问题，角速度ω的方向为z轴方向，ri与vi总是互相垂直的，ri×vi的方向为z轴方向，ri×vi的大小为rivisin90o＝rivi ；
d(ri?mivi)d(mirvii)???dtdti∴ i
因为刚体中任意两质点间的距离保持不变，∴miri均为常量，且vi＝ωri，可得：
2d(mirv)d(mr?r)d(mr2d?iiiiiii?)??????miri?dtdtdtdt iiii其中
d???为角加速度，M??Mi外表示和外力矩，则(2)式为： dtM??miri2?i (3)
令J??miri ，则(3)式写成：
2M=Jβ (4) —— 刚体转动定理
对比牛顿第二定律 F=ma
m是描述物体惯性的物理量，J也是描述物体惯性的物理量，并且是描述物体转动时的惯性，称为转动惯量。
第二节 转动惯量
转动惯量的定义：
对于连续的刚体：
J??miri2
J??r2dmV
从转动惯量的定义可以看到，刚体做定轴转动时，其惯性不仅与刚体的质量有关，还与质量的分布状况有关。
对于质量相同的刚体，一个质量分布靠近转轴，另一个质量分布远离转轴，从定义中可以看出，前者的转动惯量比后者小。 生活实例：
锤头的质量为m，锤柄的质量不计，当以角速度ω转动锤子时，柄越长，其转动惯量越大，直观地看，柄越长，锤头的线速度越大，它所具有的动能也越大，其惯性也就越大。 书中例题6.1(P.198)
已知：长为L，质量为M的均质细杆。
求：该杆对通过中心并与杆垂直的轴的转动惯量。 解：对连续的刚体，用积分的方法求转动惯量。
在离转轴x处取一线元dx，由于杆是细杆，这一线元的质量为：
Mdm?dxL
质量元到转轴的距离为x，根据转动惯量的定义：
Jy??x2dm??L2L?2L2L?2LM1Mx2dx?x3|2L?L3L2
1M?L3L3?12???ML??3L?88?12
因为转轴在杆的中心，所以积分限从－L/2积到L/2。
如果转轴在杆的一端，则积分限从0积到L，这时的转动惯量为：
J??xdm??0'yL2L0M1M3Lxdx?x|0L3L
21M31?L?0??ML2?3L3
有此看到，同一根杆，绕端点的转动惯量是绕中点的转动惯量的4倍。
转动惯量是一个新的物理量，求转动惯量需要用积分的方法，是本课程重点内容之一。 书中例题6.2(P.198)
求：质量为M，半径为R，高h的圆柱或园盘对过圆心且与盘面垂直转轴的转动惯量。
解：取半径为r，宽dr的薄圆环，高h。
M??2?Rh 该圆环的质量为：dm＝ρ2π r h dr，其中ρ是园盘的密度：
该圆环上各个点到转轴的距离都是r，
∴圆环的转动惯量为：dJ＝r2dm
整个园盘的转动惯量就是dJ从0到R积分：
J??rdm??r?2?rhdr?2??h?r3drV002R2R
14R1M142?2??hr|??hR?MR402?R2h2
如果是圆环，则积分限从R1积到R2：
R2R2J??rdm??r?2?rhdr?2??h?r3drVR1R122
??这时的密度应为：
M?(R22?R12)h
14R21M14422J?2??hr|??h(R?R)?M(R?R2121)22R142?(R2?R1)h2
（1）平行轴定理
若有两个轴互相平行，其中一个轴过质心，则：
J＝Jc＋md2
其中Jc为刚体对质心的转动惯量；m为刚体的质量；d为两轴的垂直距离。
证明：以转轴为z轴做坐标系oxyz；以刚体质心为原点做质心坐标系o’x’y’z’；刚体质心在oxyz坐标系中的坐标为：xc, yc, zc, 刚体上的任意点在oxyz坐标系的坐标为：xi, yi, zi； 该点在质心坐标系o’x’y’z’的坐标为：xi’, yi’, zi’