x＝Acos（ωt＋1/2π）＝0.001 cos（6.28×102t＋1/2π） （2）
A A/2 x A x＝Acos（ωt＋2/3π）＝0.001 cos（6.28×102t＋2/3π）
第二节 简谐振动的合成
同频率
不同频率 （2） （4）
同方向： （1） （3）
互相垂直：
（1）同方向同频率简谐振动的合成
a）解析法 两个振动分别为：
x1＝A1cos（ωt＋φ1）； x2＝A2cos（ωt＋φ2）
合振动为：
x＝x1＋x2＝A1cos（ωt＋φ1）＋A2cos（ωt＋φ2） 将余弦函数展开再重新组合得：
x＝(A1cosα1＋A2cosα2)cosωt－(A1sinα1＋A2sinα2)sinωt
常数
常数
引入另外两个常数替代它们 Acosφ＝A1cosφ1＋A2cosφ2 Asinφ＝A1sinφ1＋A2sinφ2
∴x＝Acosφcosωt－Asinφsinωt＝Acos（ωt＋φ） 此式说明，合振动仍为简谐振动，且频率相同。 合振动的振幅合初相位分别为：
2A?A12?A2?2A1A2cos(?2??1)
A1sin?1?A2sin?2tg??A1cos?1?A2cos?2
b）旋转矢量合成法
用旋转矢量A1、A2分别表示两个振动：
A2 ω0 A φ2 φ A1 φ1 X
（2）同方向不同频率简谐振动的合成——拍
一般来说同方向不同频率简谐振动的合成情况比较复杂，没有什么规律，合振动也不再是简谐振动。
有一种情况比较特殊，两个振动的频率都很高，但相差很小，即：ω1＋ω2>>|ω1－ω2| ，这时会出现拍的现象。
简单起见，考虑两个振幅相同，初相位均为0的两个振动的合成：
x1＝Acos ω1t 和 x2＝Acos ω2t x＝x1＋x2＝Acos ω1t＋Acos ω2t 利用三角函数和差化积公式得：
??2??1???2??1?x?2Acos?t?cos?t??2??2?
慢变
快变
令： A(t)?2Acos??2??1t????2?
??2??1?t?则 x ?A(t)cos??2??2??12??平可看成ω1、ω2的平均值，则
x?A(t)cos??平t???????2?
这种形式与简谐振动的形式相同，不同之处是其振幅受到周期函
cos数 ? 2 1 t ? 的调制。这种合振动的振幅周期变化的现象叫拍。
双簧管就是利用这个原理产生的颤音。
（3）互相垂直的同频率简谐振动的合成
作图法：根据简谐振动的旋转矢量表示法
（4）互相垂直的不同频率简谐振动的合成
作图法：根据简谐振动的旋转矢量表示法
第三节 阻尼振动
实际物体的振动都是阻尼振动，这里只讨论一种特殊的阻力： f＝－γv
阻力的大小与速度v成正比，γ为阻力系数；阻力的方向与速度v的方向相反。
考虑阻力后，振动系统的运动方程为：
d2xdxm2??kx??dtdt
移项整理得：
d2x?dxk??x?02dtmdtm
令：γ/m＝2n；k/m＝ω02 得：
d2xdx2?2n??0x?02dtdt
次式为典型的常系数二阶齐次线性微分方程。 n为阻尼系数，与系统的阻力系数有关；
ω0为固有角频率，是系统不受阻力作用时的角频率。 方程的解与阻力系数有关：
（1）阻力很小，n < ω0 ，小阻尼情况，
方程的解为：
x?Ae?ntcos(?'t??)