3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
目标定位 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系.2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.3.能利用函数的图象和性质判断函数零点的个数.
自 主 预 习
1.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点. 3.函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立.
即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点.( )
(2)若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内有唯一零点.( ) (3)函数y＝f(x)满足f(a)·f(b)>0，函数y＝f(x)也可能有零点.( ) 提示 (1)错.函数的零点是一个数，而不是一个点.
(2)错.有零点但不一定唯一. (3)对.如：f(x)＝x2，x∈[－1，1]. 答案 (1)× (2)× (3)√ 2.下列函数没有零点的是( ) A.f(x)＝0
B.f(x)＝3
C.f(x)＝x2－2
1
D.f(x)＝x－x
解析 函数f(x)＝3不能满足f(x)＝0，因此没有零点；函数f(x)＝0有无数个零点；1
函数f(x)＝x2－2有两个零点，为±2；函数f(x)＝x－x有两个零点，为±1. 答案 B
3.若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值等于( ) A.4
B.－4
1
C.－4
1D.4
解析 由题意知f(4)＝0，即16a－2log24＝0， 1
解得a＝4. 答案 D
4.函数f(x)＝x2－5x的零点是________.
解析 由f(x)＝x2－5x＝0，解得x＝0或x＝5，所以函数f(x)的零点为0或5. 答案 0或5
类型一 求函数的零点
【例1】 指出下列函数的零点： (1)f(x)＝x2－3x＋2的零点是________； (2)f(x)＝x4－1的零点是________；
(3)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则a＝________，b＝________. 解析 (1)令f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0，所以零点为1和2.
(2)由x4－1＝0，得(x2＋1)(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝±1，所以函数f(x)＝x4－1的零点是1和－1.
(3)由于函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，所以是2和3是方程x2－ax－b＝0的两个根，所以2＋3＝－(－a)，2×3＝－b，所以a＝5，b＝－6. 答案 (1)1和2 (2)1和－1 (3)5；－6
规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
【训练1】 (1)函数f(x)＝2x－1的零点是________；
(2)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________. 解析 (1)由2x－1＝0，得x＝0，故函数的零点为0.
(2)因为f(x)＝ax－b的零点是3，所以f(3)＝0，即3a－b＝0，也就是b＝3a. 所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1).所以方程g(x)＝0的两个根为－1和0，即函数g(x)的零点为－1和0. 答案 (1)0 (2)－1和0 类型二 判断函数零点所在区间
【例2】 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( ) ?1?A.?－4，0? ??
1??
B.?0，4? ??
?11?C.?4，2? ??
?13?
D.?2，4? ??
?1?4?1??1??1??11?
解析 ∵f?4?＝e－2＜0，f?2?＝e－1＞0，∴f?4?·f?2?＜0，∴零点在?4，2?上.
??????????答案 C
规律方法 (1)判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.(2)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点. 【训练2】方程lg x＋x＝0的根所在的区间可能是( ) A.(－∞，0)
B.(0.1，1)
C.(1，2)
D.(2，4)
解析 由于lg x有意义，所以x>0，令f(x)＝lg x＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1，1)内有零点. 答案 B
类型三 函数零点个数的判断(互动探究)
【例3】 (1)判断函数f(x)＝x2＋x－b2的零点的个数. (2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数. [思路探究]
探究点一 如何求二次函数的零点个数？ 提示 二次函数的零点个数的判断可借助判别式. 探究点二 如何求不可解函数的零点个数？ 提示 对于不可解函数可转为图象交点的个数.
解 (1)对于方程x2＋x－b2＝0，因为Δ＝12＋4b2>0，所以方程有两个实数根，即函数f(x)有两个零点.
(2)法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点. 法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0， ∴f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.
规律方法 判断函数零点个数的四种常用方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数.(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数.
【迁移探究1】 若例题第(1)题中，变为若函数f(x)＝ax2－x－1有两个零点，求实数a的取值范围.
?a≠0，1解 ∵f(x)＝ax－x－1有两个零点，则满足?得a>－4且a≠0，故
?Δ＝1＋4a>0，
2
?1?
实数a的取值范围是?－4，＋∞?.
??
【迁移探究2】 若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围.
解 当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0，得x＝－1.当a>0时，此函数图象开口向上，又f(0)＝－1<0，结合二次函数图象知成立. 当a<0时，此函数图象开口向下，又f(0)＝－1<0， ?Δ＝1＋4a＝0，
?1从而有?－1解得a＝－4.
－<0，??2a
?1?
综上可知，a的取值范围是?4?∪[0，＋∞).
??
[课堂小结]
1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
2.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
1.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( ) A.方程f(x)＝0一定有实数解 C.方程f(x)＝0一定有两实根
B.方程f(x)＝0一定无实数解 D.方程f(x)＝0可能无实数解
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解. 答案 D
2.函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( ) A.(－2，－1) C.(0，1)
B.(－1，0) D.(1，2)
解析 ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0， f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，