(3)对于任意的x>0，ax>logax.( ) 提示 (1)对.根据图象可知结论正确.
(2)对.在这几类函数中，指数函数的增长速度最快. (3)错.当0
2.函数y1＝2x与y2＝x2，当x＞0时，图象的交点个数是( ) A.0
B.1
C.2
D.3
解析 当x＝2，4时，y1＝y2，当x＞4时，y1＞y2，当2＜x＜4时，y1＜y2，当0＜x＜2时，y1＞y2，故交点个数是2，选C. 答案 C
3.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( ) A.y＝2x
B.y＝10 000x
C.y＝log3x
D.y＝x3
解析 由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断. 答案 A
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年) 的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只.
解析 由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300. 答案 300
类型一 几类函数模型的增长差异
【例1】(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y＝10 000x C.y＝x
1 000
B.y＝log2x ?e?x
D.y＝?2?
??
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x y1 y2 1 2 2 5 26 32 10 101 1 024 15 226 32 768 20 401 1.05×106 25 626 3.36×107 30 901 1.07×109 y3 y4 2 2 10 4.322 20 5.322 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是________. 解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长， ?e?x
则当x越来越大时，函数y＝?2?增长速度最快.
??(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化. 答案 (1)D (2)y2
规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有logax＜xn＜ax.
【训练1】 下列函数中，随x增大而增长速度最快的是( ) A.2 014ln x x
C.y＝2 014
B.y＝x2 014 D.y＝2 014·2x
解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2014·2x的增长速度最快.故选D. 答案 D
类型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1 (2)结合函数图象，判断f(6)与g(6)，f(2 010)与g(2 010)的大小. 解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)结合图象及运算可知f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1 ＜2，9＜x2＜10，而x1＜6＜x2，2 010＞x2，从图象上可以看出， 当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6).当x＞x2时，f(x)＞g(x)， ∴f(2 010)＞g(2 010). 规律方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数. 【训练2】 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图. (1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知 曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1， 曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x， (2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x). 函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长. 类型三 函数模型的选择问题 【例3】 某汽车制造商在2015年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2015年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示： 年份 产量 2012 8(万) 2013 18(万) 2014 30(万) 如果我们分别将2012，2013，2014，2015定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？ 解 建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30). (1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ?a＋b＋c＝8， 将点坐标代入，可得?4a＋2b＋c＝18， ?9a＋3b＋c＝30， 解得a＝1，b＝7，c＝0，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1. (2)构造指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)， c＝8， ?ab＋12562 将点坐标代入，可得?ab＋c＝18，解得a＝3，b＝5，c＝－42. ?ab3＋c＝30，125?6?x125?6?4 ?5?－42，故g(4)＝·??则g(x)＝3·3?5?－42＝44.4，与计划误差为1.4. ??由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系. 规律方法 解函数应用题的四个步骤 第一步：阅读、理解题意，认真审题. 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化. 第二步：引进数学符号，建立数学模型. 一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型. 第三步：利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型)，求得结果. 第四步：再转译成具体问题作出解答. 【训练3】 某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每根0.5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一根铅笔；(2)按总价的92%付款，现要买软皮本4本，铅笔若干根(不少于4根)，若购买铅笔数为x根，支付款数为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？ 解 由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为：y＝2×4＋0.5(x－4)＝0.5x＋6(x≥4，且x∈N).由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为：y＝(0.5x＋2×4)×92%＝0.46x＋7.36(x≥4，且x∈N).令0.5x＋6＝0.46x＋7.36，解得x＝34，且当4≤x ＜34时，0.5x＋6＜0.46x＋7.36，当x＞34时，0.5x＋6＞0.46x＋7.36，即当购买铅笔数少于34根(不少于4根)时，用优惠办法(1)合算；当购买铅笔数多于34根时，用优惠办法(2)合算；当购买铅笔数是34根时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即一样合算. [课堂小结] 三种函数模型的选取 (1)指数型函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(2)对数型函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，x＞0，a＞1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型. 1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y＝100x C.y＝x100 B.y＝log100x D.y＝100x 解析 由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断. 答案 D 2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( ) 解析 设该林区的森林原有蓄积量为a， 由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)， ∴y＝f(x)的图象大致为D中图象. 答案 D