下列函数模型中，最接近的表示这组数据满足的规律的一个是( ) A.指数函数 C.一次函数
B.反比例函数 D.二次函数
解析 画出函数图象，如图所示：观察散点图，可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示. 答案 C
4.已测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，
甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则选用________作为拟合模型较好.
解析 对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好. 答案 甲
题型一 函数的零点与方程的根
【例1】 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( ) A.{1，3}
B.{－3，－1，1，3} D.{－2－7，1，3}
C.{2－7，1，3}
(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x，那么函数y＝f(x)的零点个数为( ) A.一定是2
B.一定是3 D.可能是0
C.可能是2也可能是3
解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，所以f(x)＝
22?x－3x，x≥0，?x－4x＋3，x≥0，?x≥0，?2?所以g(x)＝由?2 2?－x－3x，x<0，?－x－4x＋3，x<0，?x－4x＋3＝0，
?x<0，解得x＝1或x＝3；由?2解得x＝－2－7.
?－x－4x＋3＝0，
所以函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为{－2－7，1，3}.故选D.
(2)x>0时，f(x)＝ln x，根据对数函数的性质知f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以在(－∞，0)上也有一个零点，而f(0)可能为0也可能不为0，所以零点个数可能是2也可能是3. 答案 (1)D (2)C
规律方法 确定函数零点的个数有两个基本方法：(1)利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断.(2)利用零点存在性定理判断，但还需结合函数的图象和单调性，特别是二重根容易漏掉.
?1??1?【训练1】 设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f?－2?·f??<0，则方程
???2?f(x)＝0在[－1，1]内( ) A.可能有3个实根 C.有唯一实根
B.可能有2个实根 D.没有实根
?1??1?解析 由于f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f?－2?·f??<0，
???2?
?11?所以f(x)在?－2，2?上有唯一零点，即方程f(x)＝0在[－1，1]内有唯一实根.
??答案 C
题型二 函数零点的应用
【例2】 已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围.
解 当方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0，1]上有两个相等实数根时，
2
?Δ＝（m－1）－8m＝0，??此时无解. m－1
0≤2≤1，??
当方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实数根时，分以下三种情况讨论： (1)有且只有一根在(0，1)上时，f(0)·f(1)＜0，即2m(m＋2)＜0，由二次函数图象可得－2＜m＜0；
(2)当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，满足题意； (3)当 f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，满足题意.
综上所述，实数m的取值范围是[－2，0].
规律方法 解决此类问题要根据函数解析式的特征灵活选择转化的方向，若函数
解析式比较简单，则可直接将其转化为函数图象与x轴交点问题来解决；若函数解析式中涉及两类函数，则可通过变形将其转化为两个函数图象交点问题来解决，也可通过分离参数将其转化为简单的函数与复杂的函数图象交点问题来解决.解决此类问题的关键在于准确画出函数图象.
?log2（x＋1） （x＞0），【训练2】 已知函数f(x)＝?2若函数g(x)＝f(x)－m有3
?－x－2x （x≤0），个零点，则实数m的取值范围是________.
解析 函数g(x)＝f(x)－m的零点个数就是函数f(x)的图象与直线y＝m的交点个数.如图所示，作出函数f(x)的图象，由图象可知当且仅当m∈(0，1)时，函数 f(x)的图象与直线y＝m有三个交点，即函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，故填(0，1). 答案 (0，1)
题型三 函数模型及其应用
【例3】 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天 Q(万股)
4 36 10 30 16 24 22 18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式； (3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0，2)，(20，6)，1
容易求得直线方程为：P＝5t＋2；
从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20，6)、(30，5)，求得方程为：1
P＝－10t＋8.
故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为： 1??5t＋2，0≤t≤20，P＝?(t∈N).
1??－10t＋8，20 (2)由图表，易知Q与t满足一次函数关系， 即Q＝－t＋40，0≤t≤30，t∈N. ?1? t＋2??（－t＋40），0≤t≤20，??5?? (3)由以上两问，可知y＝? 1??－t＋8?（－t＋40），20 12－（t－15）＋125，0≤t≤20，??5 即y＝?(t∈N). 12（t－60）－40，20 规律方法 函数模型的应用实例主要包含三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题. 【训练3】 甲商店某种商品4月份(30天，4月1日为第一天)的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图(1)所示，该商品日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系如图(2)所示. (1)写出图(1)表示的销售价格与时间的函数关系式P＝f(t)，写出图(2)表示的日销售量与时间的函数关系式Q＝g(t)及日销售金额M(元)与时间的函数关系M＝h(t)； (2)乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N(元)与时间t(天)之间的函数关系为N＝－2t2－10t＋2 750，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系. 解 (1)设销售价格函数是P＝kt＋b，过点(0，15)，(30，30)，代入方程得 b＝15，???b＝15，1 ?解得?1∴P＝f(t)＝2t＋15(0＜t≤30，t∈N). k＝，?30k＋b＝30，??2 ?m＝160，?m＝160， ?设日销售量函数Q＝at＋m，过点(0，160)，(30，40)，则?? ?30a＋m＝40?a＝－4，∴Q＝g(t)＝－4t＋160(0＜t≤30，t∈N). ?1? 故M＝h(t)＝?2t＋15?(－4t＋160)＝－2t2＋20t＋2 400(0＜t≤30，t∈N). ??(2)∵N＝－2t2－10t＋2 750(0＜t≤30，t∈N)， ∴M－N＝30t－350(0＜t≤30，t∈N). 当0＜t≤11时，M－N＜0；当12≤t≤30时，M－N＞0. 即前11天甲商店每天的销售额比乙商店少，以后乙商店每天的销售额均比甲商店少. [课堂小结] 1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点的存在定理，可用来求参数的取值范围. 2.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 3.函数建模的基本过程如图 基 础 过 关