(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？
解 (1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2； ?
经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x， 所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N*).
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0，x∈N*)的图象，如图所示.
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值.因为8 3.2.2 函数模型的应用实例 目标定位 1.能利用给定的函数模型解决实际问题；能选择适当的函数模型进行拟合，实现问题的解决.2.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型在社会生活中的广泛应用.3.初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法. 自 主 预 习 1.函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题； (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测. 温馨提示：利用函数模型解决实际应用题时，要抓住关键：选择和建立恰当的函数模型. 2.应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模——求解数学模型，得出数学模型； (4)还原——将数学结论还原为实际问题. 温馨提示：用得到的函数进行拟合时，可能误差较大或不切合客观实际，因此要对所得函数模型进行检验，切记盲目下结论. 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.( ) (2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好.( ) (3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好.( ) 提示 (1)错.对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别. (2)对.数据越多，模拟效果越好. (3)对.根据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型效果较好. 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2.某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝10(x－2)2＋5，则当产量为3时，利润y等于( ) A.10 B.15 C.20 D.25 解析 当x＝3时，代入解析式y＝10(x－2)2＋5得y＝15. 答案 B 3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A.310元 B.300元 C.390元 D.280元 解析 由图象知，该一次函数过(1，800)，(2，1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300. 答案 B 4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)用x表示，若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元. 解析 设甲地销售量为x辆，则总利润y＝－x2＋21x＋2(15－x) 192?19?2 ＝－x＋19x＋30＝－?x－2?＋30＋4 ?? 2 ∴当x＝9或10时，ymax＝120. 答案120 类型一 一次函数、二次函数、幂函数模型的应用 【例1】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，11 它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝3t，N＝6t，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)求总利润y的最大值. 1 解 (1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝3x(亿元)，此时乙项目投资(3 111 －x)亿元，获得利润为N＝6(3－x)(亿元)，则有y＝3x＋6(3－x)，x∈[0，3]. 1112 (2)令x＝t，t∈[0，3]，则x＝t2，此时y＝3t＋6(3－t2)＝－6(t－1)2＋3. 2 ∵t∈[0，3]，∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值为3， 2 即总利润y的最大值是3亿元. 规律方法 在最优化问题中，如最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确立变量的限制条件，一般可建立一次函数或 二次函数的模型. 【训练1】 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 解 (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y11111 ＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝5，k2＝2.∴y1＝5x＋29(x≥0)，y2＝2x(x≥0). 112 (2)令y1＝y2，即5x＋29＝2x，则x＝963. 2 当x＝963时，y1＝y2，两种卡收费一致； 2 当x＜963时，y1＞y2，使用“便民卡”便宜； 2 当x＞963时，y1＜y2，使用“如意卡”便宜. 类型二 分段函数模型的应用 【例2】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增1??400x－x2，0≤x≤400， 2加投入100元，已知总收益满足函数R(x)＝?其中x是仪 ??80 000，x＞400.器的月产量. (1)求利润关于月产量的函数f(x)； (2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解 (1)每月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元， 1??－x2＋300x－20 000，0≤x≤400， 从而f(x)＝?2 ??60 000－100x，x＞400. 1 (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－2(x－300)2＋25 000， ∴当x＝300时，函数f(x)有最大值25 000； 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x＝300时，函数f(x)有最大值，为25 000. 答：每月生产300台时，利润最大，最大利润为25 000元. 规律方法 (1)分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”. (2)解决分段函数问题需注意几个问题：①所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域.②求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值.③一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围. 【训练2】 某市自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 t时，每吨为1.80元，当用水超过4 t时，超过部分每吨3.00元，某月甲，乙两用户共交水费y元，已知甲，乙两用户该月用水量分别为5x，3x. (1)求y关于x的函数； (2)若甲，乙两用户该月共交水费26.4元，分别求出甲，乙两用户该月的用水量和水费. 解 (1)当甲的用水量不超过4 t时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4 t，此时 y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x. 当甲的用水量超过4 t，乙的用水量不超过4 t，即3x≤4且5x＞4时， y＝4×1.80＋3x×1.80＋3×(5x－4) ＝20.4x－4.8. 当甲、乙的用水量都超过4 t，即3x＞4时，y＝24x－9.6， ??44∴y＝?20.4x－4.8，5＜x≤3. 4?24x－9.6x.x＞?3 4 14.4x，0≤x≤5