∴f(x)在(0，1)内有零点. 答案 C 3.若函数f(x)＝________.
解析 由已知得f(1)＝0，即
21
＋a＝0，解得a＝－2.∴g(x)＝x2－2x＋1，令g(x)3＋1
12
＋a的零点为1，那么函数g(x)＝－2ax2－2x＋1的零点是x3＋1
＝0得方程x2－2x＋1＝0的根为x＝1，故g(x)的零点为1. 答案 1
4.求函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数.
?1?x
解 令f(x)＝2|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝?2?.
??
x
?1?x
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝?2?，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，
??
h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点.
基 础 过 关
1.函数f(x)＝lg x＋1的零点是( ) 1A.10
10C.10
1
解析 由lg x＋1＝0，得lg x＝－1，所以x＝10.
B.10
答案 A
2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
D.10
解析 由函数零点的意义可得：函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无交点. 答案 A
3.若函数f(x)满足在区间(1，2)内有唯一的零点，则( ) A.f(1)·f(2)>0
B.f(1)·f(2)＝0
C.f(1)·f(2)<0
D.不确定
解析 如图，
A、B、C三选项都有可能，故选D. 答案 D
4.已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________. 解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0. 答案 0
5.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a取值的范围是________. 解析 由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解， 故Δ＝4－4a＞0，即a＜1. 答案 (－∞，1)
6.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2x－1－3.
解 (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1. (3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
7.若函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，试求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点. 解 函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝5，b＝－6，所以g(x)11＝－6x2－5x－1，易求得函数g(x)的零点为－2，－3. 8.已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0
?1－x>0，
解 (1)要使函数有意义：则有?解之得：－3 x＋3>0，? (－3，1). (2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0， 得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，解得x＝－1±3. 因为－1±3∈(－3，1)，故f(x)的零点是－1±3. 能 力 提 升 9.函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的区间是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 解析 因为f(1)＝－1<0，f(2)＝1＋ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0，且函数f(x)是(0， ＋∞)上的连续函数，所以函数f(x)的零点所在区间是(1，2). 答案 B 10.若a B.(－∞，a)和(a，b)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， ∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)， ∵a ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内. 答案 A 11.设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________. 解析 令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增， ∵f(2)＝ln 2＋2－4＜0，f(3)＝ln 3－1＞0.∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2. 答案 2 12.对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断： ①在(－2，－1)内有实数根； ②在(－1，0)内有实数根； ③在(1，2)内有实数根； ④在(－∞，＋∞)内没有实数根. 其中正确的有________(填序号). 解析 设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0， f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，则f(x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确. 答案 ①②③ 13.已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4]. (1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域； (2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？ 解 (1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，其图象如图所示.由图可知，函数f(x)的值域为[－4，5]. (2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点. ∴方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点. 由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0， ∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点. 探 究 创 新 14.已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围. (1)零点均大于1； (2)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内. 解 (1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点 ? 存在定理，得?f（1）＝5－2a>0， ?a>1. （－2a）2－16≥0， 5 解得2≤a<2. (2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次 ?f（1）＝5－2a<0， 函数的单调性与零点存在定理，得? f（6）＝40－12a<0，?f（8）＝68－16a>0， 1017解得30， 3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 目标定位 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长的快慢.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及其三种函数模型增长速度的差异.3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题. 自 主 预 习 1.三种函数模型的性质 函数 性质 在(0，＋∞)上的增减性 图象的变化 y＝ax(a>1) 单调递增 y＝logax(a>1) 单调递增 y＝xn(n>0) 单调递增 随x增大逐渐变陡 随x增大逐渐变缓 随n值而不同 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上. (2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax. 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，总存在一个x0，当x>x0时，logax (2)在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是y＝3x.( )