(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增函数， 4???4?所以当x∈?0，5?时，y≤f?5?＝11.52＜26.4；
?????44??4?当x∈?5，3?时，y≤f?3?＝22.4＜26.4；
?????4?
当x∈?3，＋∞?时，
??
令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5 由5x＝7.5，甲用户用水量为7.5 t， 付费s1＝4×1.80＋3.5×3＝17.70(元)； 由3x＝4.5，乙用户用水量为4.5 t， 付费s2＝4×1.80＋0.5×3＝8.70(元). 类型三 指数函数、对数函数模型的应用
【例3】 目前某县有100万人，经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年). 解 (1)当x＝1时，
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x＝2时，
y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，
y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； ?
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N)*.
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人.
(3)设x年后该县人口总数将达到120万， 120
即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012100≈16. 故大约16年后该县人口总数将达到120万.
规律方法 (1)指数型函数模型：y＝max＋b(a＞0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示. (2)本例是一个有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：若原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可以用y＝N(1＋p)x来表示. 【训练3】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m，游回产地产卵，研究鲑鱼的1x
科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝2log3100，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，则这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.
11
解 (1)将x＝8 100代入函数关系式，得y＝2log381＝2×4＝2，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s. 1x
(2)令y＝0时，得2log3100＝0，
x
＝1，则x＝100，所以一条鲑鱼静止时耗氧量为100个单位. 100
1xA1xB
(3)由yA＞yB，得2log3100＞2log3100， 即
即log3xA＞log3xB，则xA＞xB，所以鲑鱼A的耗氧量较大. [课堂小结]
1.解应用题的一般思路可表示如下：
2.函数模型的应用实例主要包括三个方面 (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 3.函数拟合与预测的一般步骤
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图.
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的.因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.
1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )
x Y A.一次函数模型 C.指数函数模型
4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27 B.幂函数模型 D.对数函数模型
解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 答案 A
2.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( ) A.y＝100x C.y＝50×2x
B.y＝50x2－50x＋100 D.y＝100x
解析 将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应. 答案 C
3.一种放射性元素，最初的质量为1，按每年10%衰减，则t年后，这种放射性元素质量w的表达式是w＝________. 解析 由题意可知，w＝0.9t，t∈N.
答案 0.9t(t∈N)
4.有甲、乙两种商品，经销这两种商品所获得的利润分别为p(万元)和q(万元)，它们与投入的资金x(万元)的关系，据经验估计为p＝－x2＋4x，q＝2x，今有3万元资金投入经销甲、乙两种商品，为了获得最大利润，应对甲、乙两种商品分别投入多少资金？总共获得的最大利润是多少万元？
解 设投入甲商品x万元资金、投入乙商品(3－x)万元资金，共获得利润y万元，则y＝(－x2＋4x)＋2(3－x) ＝－x2＋2x＋6＝－(x－1)2＋7， 由于0≤x≤3，所以当x＝1时，ymax＝7.
答：应对甲商品投入1万元资金、对乙商品投入2万元资金，共获得最大利润为7万元.
基 础 过 关
1.某学校开展研究性学习活动，一名同学获得了下面的一组试验数据：
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) A.y＝2x－2 C.y＝log2x
?1?xB.y＝?2?
??1
D.y＝2(x2－1)
解析 代入点(2，1.5)，(5，12)检验知选D. 答案 D
1
2.某商场的某款手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低4，则现在价格为 2 560元的该款手机，两年后价格可降为( ) A.1 440元 C.1 040元
B.900元 D.810元
1?4?
解析 两年后的价格为2 560×?1－4?＝810(元).
??
答案 D
3.某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为( ) A.0.5元
B.0.8元
C.1元
D.1.1元
解析 设杂志的价格降低了x个0.1元，则此时价格为(1.20－x×0.1)元，卖出(12＋4x)万本，设总销售收入为y万元，则y＝(1.20－0.1x)(12＋4x)＝－0.4x2－3.6x＋14.4(x∈N*)，要使y≥20，即x2－9x＋14≤0，解得2≤x≤7，当x＝7时，价格最低，为1.20－0.7＝0.5(元). 答案 A
x
4.已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少2，则面积最大.此时x＝________，面积S＝________.
x
解析 根据题目条件0<2<3，即0 x?1251? 所以S＝(4＋x)?3－2?＝－2(x2－2x－24)＝2－2(x－1)2(0 ?? 25 故当x＝1时，S取得最大值2. 25 答案 1 2 5.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为________台. 解析 设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋ 2 500. 故当x＝50台时，获利润最大. 答案 50 6.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地(如图所示的长方形ABCD)上规划出一块长方形地面建小区公园(公园的一边落在CD上)，但不超过文物保护区△AEF的边EF.如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积(已知AB＝CD＝200 m，BC＝AD＝160 m，AE＝60 m，AF＝40 m). 解 如图所示，设P为EF上一点，矩形CGPH为规划出的公园，PH＝x， 则PN＝200－x.又因为AE＝60，AF＝40，