经典易错题会诊与2012届高考试题
预测（九）
考点9
圆锥曲线
?对椭圆相关知识的考查 ?对双曲线相关知识的考查
?对抛物线相关知识的考查 ?对直线与圆锥曲线相关知识的考查 ?对轨迹问题的考查 ?考察圆锥曲线中的定值与最值问题 ?椭圆 ?双曲线
?抛物线 ?直线与圆锥曲线
?轨迹问题 ?圆锥曲线中的定值与最值问题 经典易错题会诊
命题角度1
对椭圆相关知识的考查
1．(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )
A.22B.2?12C.2?2D.2?1
[考场错解] A
[专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把 [对症下药] D 设椭圆的方程为|PF1|=
2xa22|PF1||PF2|当作离心率．
?yb22=l (a，b >0) 由题意可设|PF2|=|F1F2|=k，
k，则e=
2c2a?k2k?k?22?1 y22．(典型例题)设双曲线以椭圆
x25?9=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则
双曲线的渐近线的斜率为 ( )
A．±2 B．± C．± D．±
324413 [考场错解] D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=?ba??34x225?y29=1长轴的两个端点为
[专家把脉] 没有很好理解a、b、c的实际意义． [对症下药] C 设双曲线方程为
xa22?yb22=1，则由题意知c=5，
a2c=4 则a=20 b=5，而
22
1
a=2
5 b=
5
ba∴双曲线渐近线斜率为±
=?12
xm223．(典型例题)从集合{1，2，3?，11}中任选两个元素作为椭圆方程
?yn22=1中的m和n，
则能组成落在矩形区域B={(x，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( )
A．43 B．72 C．86 D．90
[考场错解] D 由题意得，m、n都有10种可能，但m≠n故椭圆的个数10310-10=90． [专家把脉] 没有注意，x、y的取值不同．
[对症下药] B 由题意得m有10种可能，n只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m≠n，故椭圆的个数：1038-8=72． 4．(典型例题)设直线l与椭圆
x225?y216=1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、
D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程 ( )
[考场错解] 设直线l的方程为y=kx+b
如图所示，l与椭圆，双曲线的交点为A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有AC?DB,AB=3CD
?y?kx?b2222由?得(16?25k)x?50bkx?(25b?400)?0(1)?x2y??1?16?25
所以x1+x2=- 由???y?kx?b??x?y2250bk16?25k2.
?1得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0
(2)
若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1 所以x3+x4=b =0
①当k=0时，由(1)得x1、2=±
即
10416?b222bk1?k2、由AC?BD?x3-x1=x2-x4 ?x1+x2=x3+x4?-
50bk16?25k2?2bk1?k2?bk=0或
5416?b16132 由(2)得x3、4=±
1613b?12由AB?3CD?x2?x1=3(x4-x1)
?6b?1?b?? 故l的方程为y=±
20
11?k2 ②当b=0时，由(1)得x1、2=±即
4016?25k216?25k?61?k22，由(2)得x3、4=?1625x.
由AB?3CD?x2?x1=3(x4-x3)
?k??1625,故l的方程为y?? 2
综上所述：直线l的方程为：y=?1613,y?1625x
[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解． [对症下药] 解法一：首先讨论l不与x轴垂直时的，情况．
设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有
AC?BD,AB?3CD．
?y?kx?b,2由?得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0．(1) ?x2y??1.?16?25 所以x1+x2=- 由???y?kx?b,??x?y2250bk16?25k2.
?1.得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0．
若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1． 所
以
x3+x4=
50bk16?25k22bk1?k2由
或 b=0．①当k=0
AC?BD?x3?x1?x2?x4?x1+x2=x2+x4??54?2bk1?k2?bk?0?k?0时，由(1)得
x1,2??16?b.
2 由(2)得x3、4=±? 即
10416?b2b?12由AB?3CD?x2?x1?3(x4-x3)．
.故
?b?1?b??21613l的方程为 y=±
1613
②当b=0时，由(1)得x1、2=? 自(2)得x3、4=? 故l的方程为y=?11?k162522016?25k2,由AB?3CD?x2?x1?3(x4-x3)．即
4016?25k2?61?k2?k??1625.
x．再讨论l与x轴垂直时的情况．
4525?c.2 设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=?y3、4=?即
综上所述，直线l的方程是：y=?1625c?1.由|AB|?3|CD|?|y2?y1|?3|y4?y3|.222
25241.
8525?c?6c?1?c??25241,故l的方程为x?x、y=±
1613和x=?25241
3
解法二：设l与椭圆、双曲线的交点为：
2?x2yii??1,?16?252?2x?yj?1.?j A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，则有
i?1,2j?3,4.
由i的两个式子相减及j的两个式子相减，得：
?16(x2?x1)(x2?x1)?25(y2?y1)(y2?y1)?0,??(x4?x3)(x4?x3)?(y4?y3)(y4?y3)?0.
?3CD.因C、D是AB的三等分点，故CD的中点(x0，y0)与AB的中点重合，且AB于是x0=因此?x2?x12?x4?x32,y0=
y2?y12?y4?y32,x2-x1=3 (x4-x3)．
?16x0(x4?x3)??25y0(y4?y3),(1)?x0?(x4?x3)?y0(y4?y3).(2)
若x0y0≠0，则x2=x1?x4=x3?y4=y3?y2=y1．
因A、B、C、D互异，故xi≠xj，yi≠yj，这里ij=1，2，3，4且 i≠j(1)÷(2)得16=-25，矛盾，所以x0y0=0．
①当x0=0，y0≠0时，由(2)得y4=y3≠0，这时l平行 x轴．
设l的方程为y=b，分别代入椭圆、双曲线方程得：xl、2=?∵x2-x1=3(x4-x3)?
104
5416?b,x3、4=?2b?1.2
16?b2?6b?1?b??21613．
故l的方程为y=±
1613
②当y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，这时l平行y轴． 设l的方程为x=c，分别代入椭圆、双曲线方程得：yl、2=?∵y2-y1=3(y4-y3)?8525?c2524124525?c,y3、4=?2c?1.
2?6c?1?c??225241
故l的方程为：x??
③当x0=0，y0=0时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直． 设l的方程为y=kx，分别代入椭圆、双曲线方程得：x1、2=??x2?x1?3(x4?x3)?k??1625.故
2016?25k2,x3,4??11?k2.
l的方程为y=y16252
??1625x.
综上所述，直线l的方程是：y=?2
x、y=?1613和x=?25241.
5．(典型例题)设A、B是椭圆3x+y=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
(1)确定A的取值范围，并求直线AB的方程；
4
(Ⅱ)试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)
[考场错解] (1)设A(x1，y1)B(x2，y2)则有:
22??3x1?y1????22?3x?y??2?2(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0
3(y1?y2)x1?x2 依题意，x1≠x2 ∴kAB-
∵N(1，3)是AB的中点， ∴x1+x2=2,yl+y2=6从而kAB=-9
又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<331+3=12 ∴λ的取值范围是(-∞，12)
直线AB的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0 [专家把脉]
①用“差比法”求斜率时kAB=?3(x1?x2)y1?y22
2
这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3
312+32=12应用结论时也易混淆．
[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB的方程为y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．①
设A(x1，y1)、B(x2、y2)，则x1，x2是方程①的两个不同的根， ∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x1+x2=
2k(k?3)k?322
，由N(1，3)是线段AB的中点，得
x1?x22?1，∴A(k-3)=k
2
+3．
解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)． 于是，直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0． 解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有
22??3x1?y1????22??3x2?y2??(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
3(x1?x2)y1?y2 依题意，x1≠x2，∴kAB=-
∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2，yl+y2=6，从而kAB=-1． 又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>331+3=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．
直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．
(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4
又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，则x3， x4是方程③的两根，∴x3+x4=-1，且x0=
122
2
(x3+x4)=-
12，y0=x0+2=
32，即M(-
12，
32)．于是由弦长公式可得
5