∵双曲线的渐近线为y=±即k≠±
33x,∴当k=±
?183?k23时，AB与双曲线只有一个交点，
.∵x1+x2=
?183?k26k3?k2,x1?x2?2
.
y1+y2=k(x1+x2)-6=,y1y2=kx1x2-k(x1+x2)+9=9
?x1x2?y1y2?3(y1?y2)?9?0,又?By1 -3）,?B-3), ?B????（x1，???=(x2,y2 ???⊥????ABABB1111
?183?k2?9?3??183?k2?9?0,即k=5, ∴k=±
52
5.
故所求直线AB的方程为y=3 设双曲线
x2x-3或y=-
5x-3.
4-y2=1的右顶点为A、P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的
两条渐近线的平行线与直线OP(O为坐标原点)分别交于Q和R两点． (1)证明：无论P点在什么位置，总有|OP1|?|OQ?AR|；
2答案：设OP：y=kx与AR：y=222k(x?2)联立
???解得?OR?(1?2k1?2k?(2,),
2k???同理可得?OQ2
,),1?2k1?2k??|所以|?OQ???·??OR4?4k|1?4k22,|2
41?4k2???|=（m,n）,则由双曲线方程与OP方程联立解得m=设|?OP???|m+n=所以|?OP2=
2
2
,n2?4k22,
1?4k4?4k1?4k22?|?????????|OQOR(点在双曲线上，1-4k>0);
2
(2)设动点C满足条件：AC??答案：∵??AC?12?12(AQ?AR)，求点C的轨迹方程．
(?????????),?点
AQARC为QR的中心，设C（x,y）,
2??x?2?则有?1?4k2k?y?2?1?4k? ，消去k,可得所求轨迹方程为x2-x2-4y2=0(x≠0).
命题角度3
对抛物线相关知识的考查。
1．(典型例题)过抛物线y=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )
A.有且仅只有一条 B．有且仅有两条
2
11
C.有无穷多条 D．不存在
[考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 234=8 5<8，故不存在这样的直线． [专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p的意义．
[对症下药] B 解法一：由题意得P=2，通径长为4，而|AB|=x1+x2+p=7，由7>4，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k有两个值，即直线有且仅有两条．
2．(典型例题1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论； (Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．
[考场错解] (Ⅱ)，设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点A、B的
直线方程可写为y=?2x2+
12112x?m,与y=2x2联立得
14x-m=0．得x1+ x2=-181116；设AB的中点N的坐标为(x0，y0)则
x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=
22+m．
516?m?516由N∈l,得
116+m=-+b，于是b=
41516
即得l在y轴上截距的取值范围为[
,??].
132 [专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m>?把m当作大于或等于0．
，无法进一步求出b的范围，只好胡乱地
[对症下药] (1)F∈l?|FA|=|FB|?A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意 y1、y2不同时为0， ∴上述条件等价于yl=y2?x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0； ∵x1≠x2，∴上述条件等价于 x1+x2=0．
即当且仅当x1+x2=0时，l经过抛物线的焦点F。
(Ⅱ)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为
y=-x+m，所以x1、x2满足方程2x2+x-m=0，
2211得x1+x2=-；
41 A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
??14+8m>0，即m>?132
设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则 x0=(x1+x2)=-，y0=-x0+m=
282111116+m
516 由N∈l，得
116+m=-+b，于是b=
41+m>
516?132?932
12
即得l在y轴上截距的取值范围为(
932，+∞)．
3．(典型例题)如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2)． (1)求该抛物线上纵坐标为
P2的点到其焦点F的距离；
y1?y2y0(Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求是非零常数． [考场错解] (1)当y=为
p8?(?p)?98p.
p2的值，并证明直线AB的斜率
时，x=
p8又抛物线的准线方程为x=-P，由抛物线定义得，所求距离
(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB 由y21=2px1,y20=2px0
相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= 同理可得kpB=
2Py1?y02Py1?y0(x1≠x0)．
y1?y2y0??12.
(x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故
设直线AB的斜率为kAB。 22
由y2=2px2,y1=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故kAB=
1y2?y1x2?x14py0?2p(y1?y2)(x1?x2).
将y1+y2=-y0(y0>0)代入得kAB=-2故kAB是非零常数．
[专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确． [对症下药] (1)当y=
p2时，x=
p8p8，又抛物线y2= 2px的准线方程为x=-(-p2p2，
由抛物线定义得，所求距离为
)=
5p8.
(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB 由y1=2px1，y0=2px0
相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)， 故kPA=
y1?y0x1?x0?2py1?y02py1?y02
2
(x1≠x0)． (x2≠x0)．
同理可得kPB=
由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB， 即
2py1?y0=-
2py2?y0，所以yl+y2=-2y0，
13
故
y1?y2y0=-2. 设直线AB的斜率为kAB
由y22=2px2，y21=2pxl
相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)， 所以kAB?y2?y1x2?x1?2py1?y2(x1?x2).
将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
kAB?2py1?y2??py0,所以kAB是非零常数．
4．(典型例题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示)．
(1)求△AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． ∵OA⊥OB．
[考场错解]（Ⅰ）设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
x1?x2?x???3(1)?y?y12?y??3?
∵OA?OB?OA?OB?0 x1x2+yly2=0(2)
2
2
又点A、B在抛物线上，有y1=x1，y2=x2代入(2)化简得xlx2=0或-1∴y=
y1?y23?13(x1?x2)?2213[（x1+x2）2-2x1x2]=3x2+
32或3x2，
故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+.
32[专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB不存在
[对症下药] （Ⅰ）设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
x1?x2?x???3(1)?y?y12?y??3?
?OA?OB?kOA?kOB??1,即x1x2?y1y2?0(2)
又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=-1 ∴y=
y1?y23?13(x1?x2)?2213[（x1+x2）-2x1x2]=
2
2
13?(3x)?223=3x+
32
2所以重心为G的轨迹方程为y=3x+ (Ⅱ)S△AOB=
12|OA||OB|?1222223
2(x1?y1)(x2?y2)?12x1x2?x1y2?x2y2?y1y222222122
14
由(1)得S△AOB=
12x1?x2?2?66122x1?x2?2?66122(?1)?2?612?2?1
当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。 所以△AOB的面积存在最小值，最小值为1。 专家会诊
1. 用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。
2. 凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 考场思维调练
1 已知抛物线y=4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于D(x0，0) (1)求x0的取值范围．
1． 答案：由题意易得M（-1，0）
2
2
2
2
2
2
设过点M的直线方程为y=k(x+1)(k≠0)代入y=4x得kx+(2k-4)x+k=0 (1)
再设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1?x2?4?2k2,x1?x2?1
4ky1?y2?k(x1?1)?k(x2?1)?k(x1?x2)?2k?
∴AB的中点坐标为(2?kk22,2k).
2k??1k(x?2?kk22那么线段AB的垂直平分线方程为y?x?k2),令y?0得
?22即x0?k2?22?1?2k2kk.
又方程（1）中Δ=（2k2-4）2-4k4＞0，∴0＜k2 ＜1， ∴
2k2?2,?x0?3.
(2)△ABD能否是正三角形?若能求出x0的值，若不能，说明理由 答案：若ΔABD是正三角形，则有点D到AB的距离等于
2322|AB|.
16(1?k)(1?k)｜AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=
2k4.
|k?2|点以AB的距离d=
3k22?k?22k2?22?21?kk2
1?kk1?k据d24|AB|得:24(k?1)2?34?16(1?k)k4
4k 15