a?(??1)?x0?所以?e?y??a.?0 因为点M在椭圆上，所以
x0a22?y0b22=1，
[ae(??1)]a22 即
?(?a)b22?1,所以(1??)e22??22?1.
1?e e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2．
(Ⅱ)解法一：因为PF1⊥l，所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,即2|PF1|=c. 设点F1到l的距离为d，由2|PF1|=d， =
|e(?c)?0?a|1?e211?|a?ec|1?e2?c,
23得
1?e22=e．所以e2=，于是λ=1-e2=.
32311?e即当λ=时，△PF1F2为等腰三角形．
解法二：因为PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x0，y0)，
?y0?01???x0?ce则??x0?c?y0?0?e?a?22?2?e?3,?x0?2?e?1解得? 22(1?e)a?.?y0?2e?1?2
由|PF1|=|FlF2|得[2
(e22?3)c?1?c](e?[2(1?e)ae22]2e?1=4c2，
121两边同时除以4a，化简得
2323?1)e?1=e2．从而e2=
3于是λ=l-e2=．即当λ=时，△PF1F2为等腰三角形．
4．(典型例题)抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x0≠0)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+
λk1=0(λ≠0且λ≠-1)．
(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)设直线AB上一点M满足BM=λ
MA，证明线段PM的中点在y轴上
(Ⅲ)当A=1时，若点P的坐标为(1，-1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围． [考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为((Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2
a4，0)准线方程为x=-
a4
21
由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1) 于是AP= (k1+2,k21+2k1)，AB=(2k1，4k1)，AP,ABB三点互不相同，故必有AP2AB<0 易得k1的取值范围是 k1<-2或
112?2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、
12 故当k1<-2时，y<-1;当- 24 即y1∈ ． [专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念． [对症下药] (1)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为(0， 14a)，准线方程为y=- 14a． (Ⅱ)证明：设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0)，直线 PB的方程为y-y0=k2(x-x0)． 点P(x0，y0)和2点A(x1，y1)的坐标是方程组???y?y0?k1(x?x0)(1)??y?ax2(2)k1a k1a 的解．将②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0=又点P(x0，y0)和点B(x2，y2)的坐标是方程组??，故x1=-x0③ ?y?y0?k1(x?x0)(4)??y?ax2 k2a(5)k2a的解．将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0．于是x2+x0=由已知得，k2=-λkl，则x2=??ak1?x0，故x2=-x0, ⑥ MA设点M的坐标为(xM,yM)，由BM=λ xM??x0??x01????x0， ，则xM= x2??x11??.将③式和⑥式代入上式得 即xM+x0=0．所以线段PM的中点在y轴上． (Ⅲ)因为点P(1，-1)在抛物线y=ax上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x． 由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2． 将λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2． 因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)． 于是AP=(k1+2，k12+2k1)，AB=(2K1，4K1)，AP?AB= 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)． 因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有AP?AB<0． 2 2 22 求得k1的取值范围是k1<-2或-1112 y1<-1；当- 24-)． 41专家会诊 1．判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆． 2．涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错． 3．涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。 考场思维调练 1 设椭圆 xm22?yn22?1，双曲线 xm22?yn22?1，抛物线y 2 =2(m+n)x，(其中m>n>0)的离心率分别 为e1、e2、e3，则 ( ) A．e1e2>e3 B．e1e2 C e1e2=e3 D．e1e2与e3大小不确定 答案： B 解析：e1= 1?nm,e2?1?nm,e3?1.3e1?e2?m?nm222?1,故选B. 2 已知平行四边形ABCD，A(-2，0)，B(2，0)，且|AD|=2 (1)求平行四边形ABCD对角线交点E的轨迹方程． 答案：设E（x,y）,D(x0,y0) ???????∵ABCD是平行四边形，∴??ABAD?2????,AE ∴（4，0）+（x0+2，y0）=2(x+2,y) ∴(x0+6,y0)=（2x+4,2y） ?x0?6?2x?4??∴???y?2y?0?x0?2x?2???y0?2y 又|AD|=2，∴（x0+2）2+y02=4, ∴(2x-2+2)2=4 即：x2+y2=1 ∴ ABCD 对角线交点E的轨迹方程为x2+y2=1. (2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且|MN|=距离为，求椭圆的方程． 34832,MN的中点到了轴的 23 答案：设过A的直线方程为y=k(x+2) 以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4,则C=2 设椭圆方程为 xa22?yb22?1,xa22xa22?a2y22?4?12(*) 将y=k(x+2)代入(*)得 ?k(x?2)a?42?0 即(a2+a2k2-4)x2+4a2k2-a4+4a2=0 设M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1?x2?4ak222224?a?ak,x1?x2?434ak222?a?4a2242a?ak?4 ∵中点到轴的距离为，且MN过点A，而点A在y轴的左侧，∴MN中点也在y轴的左侧。 2ak22222???4243,?ak22a?akx1?x2??2a?8,?x1?x2?2?83,8?a3?(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x28242?()?(8?a)33?|MN|?22 ?1?ka)?22836492?323|x1x2|?832?(1?k)(?431289即12a+12ak-32k=160 ∴12a+12(2a-8)-32k=160 ∴k2=∴a· 2 2 2 2 2222 9a?6482 9a2?648?2a?8,9a?80a?64?0242 (a2-8)(9a2-8)=0,∵a>c=2, ∴a2=8 ∴b2=a2-c2=8-4=4, ∴所求椭圆方程为 x28?y24?1. (3)与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求 |PQ|的最大值及此时l的方程． 答案：由（1）可知点E的轨迹是圆x2?y2?1 设是圆上的任点，则过(x0,y0)点的切线方程是x0x+y0y=1 当y0≠0时，y?1?x0xy0代入椭圆方程得： 24 (2x0?y0)x?4x0x?2?32y0?(x0?1)x?4x0x2,x1x2??(x1?x2)22222222?0,,又x0?y0222?132x0?30x0?11(x0?1)2222?(x1?x2)?4x1x2?222?1(x0?1)22(?128x0?8x?120|PQ|422?(1?(1?11?x022x0y0?))(x1?x2)1?x0?y0y042(x1?x2)22 ?(1?x0)2222(?128x0?8x0?120)?16x0?15(1?x0)2令16x0?15?t?31 1256tt?2t?12则|PQ|?(2t?116?)2?256t?1t?2, ∵15≤t<31 ∴当t=15时|PQ|取最大值为15，|PQ|的最大值为为 y=±1. ②当时，容易求得故所求的最大值为命题角度5 对轨迹问题的考查 1．(典型例题)已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重 合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( ) A.2 3?6152 15此时16x02?0,?y0?1,?直线l的方程 ，此时l的方程为y=±1. B． 21 C．18+122 D．21 [考场错解] C [专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻． [对症下药] B 设双曲线方程为 22xa22?yb22=1，由题意得 ca?3,?a2c??1则a= 3b= 6，则双 曲线方程为 2?x2y??1xy??=1,由?3636?2?y?4x22得A（3，2 3）， 故交点到原点的距离为 3?(23)?21. 2．(典型例题)已知点A（-2，0）、B(3，0)，动点P(x，y)满足PA?PB=x2，则点P的轨迹是 ( ) 25