即
x28?y24=1，所以点P的轨迹为椭圆
(2)若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程． 答案：由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1,-1）,则|QE|=|QN| 双曲线的C实轴长2a=|QM|-|QN|=||QM|-|QE||≤|ME|=双曲线C的实半轴长a=
10210(当且仅当Q、E、M共线时取“=”)，
63 已知△OFQ的面积为2 (1)设
6，且OF?FQ=m．
6，求向量OF与FQ的夹角θ正切值的取值范围； ?1|????|?|????|sin(???)?26OFFQ2答案：???|????|?|????|cos??mOFFQ?∴tanθ=∴ ?446m,?6?m?46?1?tan??4 ???arctan4. 64?1)c2 (2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q(如图)，|OF|=c，m=最小值时，求此双曲线的方程． 答案：设所求的双曲线方程为 xa22，当|OQ|取得 ?yb22?1(a?0,b?0),Q(x1,y1),则?????(x1?c,y1)FQ?S?OFQ??y1??12|????|?|y1|?26,OF46c又由?????????OFFQ 64?1)c，96c22?(c,0)?(x1?c,y1)?(x1?c)?c?(642x12y1?x1＝c,?|????|?OQ???3c82?12.当且仅当c=4时，|OA|最小此时6?6??1?22b?a?????22?a?b?16??Q的坐标为(6,6)或(6,?6) ? 2??a?4??2??b?12 31 所求方程为 x24?y212?1. (3)设F1为(2)中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且 2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 答案：设A（x1,y1）,B(x2,y2)l1的方程为y=-y2=-3x3x,l2的方程为y=- 3x则有y1= 3x1 ① 2 ②∵2|AB|=5|FF1| 22?2(x1?x2)?(y1?y2)?5.2c?40?20(3)设M(x,y)由(1)(2)得y1?y2?3(x1?x2)2y3,∴ ?(x1?x2)?(y1?y2)22 y1?y2?3(x1?x2)?2y?3(x1?x2),y1?y2?23x?x1?x2?y1-y2=2∴ y23x代入③得(2y3)?(23x)?40022 300?x21003?1?M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆.命题角度6 考查圆锥曲线中的定值与最值问题 1．(典型例题)如图，点A、B分别是椭圆 x236?y220=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点．点 P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF． (1)求点P的坐标； (2)设M椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． [考场错解] (1)设P(x，y)则 32AP=(x+6，y) FP?(x-4，y)由已知可得 2?x2y??1?20?36?2?(x?6)(x?4)?y?0 则2x2+9x+18=0．∴x= 或x=-6 ∴点P的坐标( 353,223)或(-6，0)． |k?6|2 (2)直线AP：x-y+6=0，设点M(A，0)则M到直线AP的距离为 于是 49|k?6|29?|k?6|解 得k=2或 18 i)当k=2时，椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，d2=(x-2)2+y2= x=时d取最小值 29(x-)2+15．∴当 215 ⅱ)当k=18时，同理得d2= 49(x- 812)2-385当x= 812时，d2=-385矛盾，故 舍去 32 综上所述：当x=时d取得最小值 2915 [专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性，致使思路不清晰，计算繁琐． [对症下药] [解](1)由已知可得点A(-6，0)，F(0，4) 设点P(x，y)，则 AP2?x2y??1?20?36?2?(x?6)(x?4)?y?0=(x+6，y)，FP=(x-4，y)，由已知可得 3232 则 2x2+9x-18=0，x=或x=-6．由于y>0，只能x= 点P的坐标是( 353,22，于是y= 532. ) 3(2)直线AP的方程是x-|m?6|2+6=0．设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是 |m?6|2 ．于是 = |m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2． 549椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20-x2 =(x-)2+15， 992由于-6≤m≤6，∴当x= 921时，d取得最小值 1815 2．(典型例题)如图，直线y= x严与抛物线y=x2-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与 2直线y=-5交于点Q． (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值． [考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5) 直线OQ的方程为x+y=0 设P(x, d= |x?18x?4|?2218x2-4)∵点P到直线OQ的距离 182|x?8x?32|,|OQ|?52?S?OPQ?516212|OQ|d?516|x?8x?32|?2516|(x?4)?48|2 ∵-4≤x≤8． ∴S△OPQ最大值= |(-4+4)2-48|=15 [专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法． 1?y?x??2??y?1x2?4?8?[对症下药] (1)解方程组，得??x1??4??x2?8,?,2y??2?y?4?1?即A(-4，-2)，B(8，4)，从而AB的 中点为M(2，1)，由kAB?12，得线段AB的垂 直平分线方程y-1=-2(x-2)．令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5)． 33 (2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x， |x?18x?4|?2?S?OPQ?12218x2-4)，∵点P到直线OQ的距离 d= 182|x?8x?32||OQ|?52. 2|OQ|d?516|x?8x?32|. 2∵P为抛物线上位于线段AB下方点，且P不在直线OQ上． ∴ -4≤x<4 3-4或4 3-4 y23．(典型例题)设椭圆方程为x2+点，点P满足OP?12(OA?OB)4=1，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B、O是坐标原 11，点N的坐标为(，)，当l绕点M旋转时，求： 22 (Ⅰ)动点户的轨迹方程； (Ⅱ)|NP|的最小值与最大值． [考场错解] (1)①若l的斜率存在，设为k，则l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，(k2+4)x2+2kx-3=0 ∴x1+x2= ?OP?(?2kk2?4,y1?y2?k(x1?x2)?2?4228k?4k42 ?k2)?k?4y?4,xy??k?4k?4 i)A=0时，x=0 y=1，∴P(0，1) ii）k≠0时，k= 4yxy??4y4?4?4? ∴P点的轨迹为：x2+y2-y=0(y≠O) ②若l不存在斜率，∴A、B为上、下顶点．∴P(0，0) (2)解：∵N( 11,221)，i)，∵k不存在时P(0，0)，?|PN1|?22, ii） k=0时P(0，1)． ?|PN|?22, iii）k≠0时x2+(y-)2=。 24又∵N( 11,22)?|NP|max=2r=1 ∴|NP|min=0． [专家把脉] 思路不清晰． [对症下药] (1)解法一：直线l过点M(0，1)，设其斜率为A，则J的方程为y=kx+1． ?y?kx?1,(1)?记A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题设可得A、B的坐标(x1，y1)、(x2,y2)是方程组?2y2?1(2)?x?4?的 解． 34 将①代入②并化简得．(4+k2)x2+2kx-3=0．所以 2k?,?x1?x2??2?4?k?8?y?y?122?4?k? 于是 OP?12(OA?OB)?(x1?x22,y1?y22)?(?k4?k2,44?k2). 设点P的坐标为(x，y)，则 ?k?,?x?2?4?k?4?y?,2?4?k? 消去参数k得 4x2+y2-y=0． ③ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为 4x2+y2-y=0 解法二：设点P的坐标为(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在椭圆上，所以 x1?2x22y142?1,④ ?y242?1⑤ 14222?④-⑤得x12?x2(y1?y2)?01 所以（x1-x2）(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 4当x1≠x2时，有 x1?x2?14(y1?y2)?y1?y2x1?x2?0⑥ ?x1?x2,?x?2?y?y?并且?y?12,2??y?1y?y2?1?x1?x2?x⑦ 将⑦代入⑥并整理得4x+y-y=0．⑧ 当x1=x2时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，-2)，这时点p的坐标为(0，0)也满足⑧，所以点P的轨迹方程为 x222 (y??1412)2116?1. (Ⅱ)解法：由点P的轨迹方程知x2≤ 116。 即-≤x≤所以 4411 35