A. 圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
[考场错解] C 由PA2PB=x2，得(-2-x，-y)2 (3-x，-y)=x2
即(-2-x)(3-x)+(-2x)(-y)+(-y)(3-x)+ (-y)2(-y)=x 化简得y+2xy-x-3y-6=0则点 P的轨迹是C. [专家把脉] 没有理解数量积的坐标运算． [对症下药] D 考查了圆锥曲线中的轨迹方程． 由题PA=(-2-x，-y)，PB=(3-x，-y)，由PA2PB=x．
∴(-2-x)2(3-x)+y=x即y=x+6．
3．(典型例题)如图，直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域 (不含边界)记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2． (1)分别用不等式组表示 W1和W2；
(Ⅱ)若区域Ⅳ中的动点p(x,y)到l1，l2的距离之积等于d，求P点的轨迹C的方程；
(Ⅲ)设不过原点O的直线l与(Ⅱ)中的曲线C相交于Ml，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点，求证△OM1M2的重心与△OM3M3的重心重合．
[考场错解] (1)W1={(x,y)|y≠±kx x<0|W2=｛(x，y)｝y=±kx,x>0| (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得
|kx?y|k22
2
2
222
2
2
|kx?b|k2=d即
2
|kx?y|k2222?1?1?1=d2
∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0
(Ⅲ)略
[专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成．
[对症下药] 解：(I)W1={(x，y)|kx
|kx?y|k22
|kx?b|k2=d，即
22
2
2
kx?yk2222?1?1?1=d2，
由P(x，y)∈W，知kx-y>0， 所以
kx?yk2222?1=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，
所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；
(Ⅲ)当直线J与，轴垂直时，可设直线J的方程为，x=a (a≠0)．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为(a，0)，即它们的重心重合，
32当直线l1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0)．
26
k由???22x?y?(k?1)d222?0??y?mx?n, 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0
2
2
2
2
2
2
22
2
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k-m≠0且△=(2mn)+4(k-m)3x(n+kd+d)>0 设M1、M2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2= 设M3、M4的坐标分别为(x3，y3)，(x4,y4)， 由??y?kx?y?mx?n2mnk2?m2，y1+y2=m(x1+x2)+2n，
及??y??kx?y?mx?n 得x3=
nk?m,x4=
?nk?m
从而x3+x4=
2mnk2?m2=x1+x2，
所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2， 于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合． 4．(典型例题)已知椭圆
xa22?yb22=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c，0)、F2(c，0)，Q是椭
圆外的动点，满足|F1Q|=2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT2TF2=0，|TF2|≠0． (1)设x为点P的横坐标，证明|F1P|=a+
cax；
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；
(Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2，若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．
[考场错解] (1)证明：由焦半径公式得F1P=a+ ex=a+(Ⅱ)设点T的坐标为(x、y) 由|PT|?|TF2|cax
=0 得PT?12?TF2又|PQ|?|PF2|?|QF|?TF2，
在△QF1F2中OT|F1Q|?a故有x2+b2= a2(x=±a)
(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要条件是：
?x2?y2?a2(1)0?0?12??2c|y0|?b(2)?2
又MF1=(-C-x0-y0)，MF2=(c-x0,y0) 由MF12MF2=x0-c+y0=a-c=b即|MF1||MF2|cos∠F1MF2=b2又s=
2
2
2
2
2
2
12|MF1||MF2|sin∠FlMF2
27
得tan ∠FlMF2=2
[专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面．
[对症下药] (1)证法一：设点P的坐标为(x，y)．由P(x，y)在椭圆上，得
|F1P|?(x?c)?y22?(x?c)?b?22ba22x2?(a?cax).22
由|x|≤a，知a+
cax≥-c+a>0，所以|F1P|=a+
cax．
证法二：设点P的坐标为(x，y)．记|F1P|?则r1=
由r1+r2=2a，r1-r2=4cx，得|F1P|=r1=a+
2
2
r1,|F2P|?r2,
(x?c)?y22 ，r2=
(x?c)?y22.
cax．
cax证法三：设点P的坐标为(x，y)．椭圆的左准线方程a+由椭圆第二定义得
|F1P||x?ca=0．
x|.
a2?|ca 即|F1P|?ca|x?a2c|?|a?cac由x≥-a，知a+
x≥-c+a>0，所以|F1P| =a+
cax
(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为(x，y)．
当|PT|=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上． 当|PT又|PQ|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|=0，得|TP|?TF2.
|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点．
12在△QF1F2中，|OT|?|F1Q|=a，所以有x2+y2=a2
2
2
2
综上所述，点T的轨迹C的方程是x+y=a
解法二：设点T的坐标为(x，y)．当||PT||=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上． 当|PT|?0且TF2?0时，由PT?TF2?0
又|PQ|=|PF2|，所以T为线段F2Q的中点．
28
设点Q的坐标为(x'，y')，则
x'?c?x???2,?y'?y?.?2?
因此??x'?2x?c,?y'?2y.①
2
2
2
由|F1Q|=2a得(x'+c)+y'=4a．② 将①代入②，可得x2+y2=a2．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2
(Ⅲ)解法一：C上存在点M(x0，y0)使S=b的充要条件是
?x2?y2?a2,(3)0?0 ?12??2c|y0|b.(4)?22
由③得，|y0|≤a，由④得，|y0|≤当a<
b2b2c，所以，当a≥
b2c时，存在点M，使S=b2；
cb时，不存在满足条件的点M．
2当a≥
c时，MF1=(-c-c0,-y0)，MF2=(c-c0,-y0)，
由MF12MF2=x02-c2+y20=a2-c2=b2，
MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2,S?12|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b,得tan?F1MF2?2.2
解法二：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是
?x0?y0?a2,(3)2?2?12??2c|y0|?b.(4)?2
2b42由④得|y0|?于是，当a≥当a<
b2b2cb2，上式代入③得x0=a-
2
c =(a-
b2c) (a+
b2c)≥0．
c时，存在点M，使s=b2;
cb时，不存在满足条件的点M．
2当a≥
c时，记k1=kF1M=
y0x0?c,k2?kF2M?y0x0?c,
k1?k2由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2=|1?k1k2|=2．
专家会诊
(1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过
29
程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起． (2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除． 考场思维训练 1 已知椭圆：
xa22?yb22=1(a>b>0)，点户为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角
平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R. (1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程； 1． 答案：∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，
∴∠F2PQ=∠QPR，|F2R|=|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R（x0,y0）,Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0). |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则（x1+c）2+y12=(2a)2.
x?c?x0?1?2又 ???y?y10?2?
得x1=2x0-c,y1=2y0.
∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2, ∴x02+y02=a2 故R的轨迹方程为：x+y=a(y≠0) (2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+最大值时，求k的值．
122
2
2
2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得
a2答案：如下图：∵S△AOB=|OA|2|OB|2sinAOB=当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.
212sinAOB
此时弦心距|OC|=
|2ak|1?k2.
在RT△AOC中，∠AOC=45°，∴
|OC||OA|?2aka1?k2?cos45°=
22,?k?33.
2 已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影为H，|PH|是2和PM (1)求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
?PN的等比中项．
????(?x,0),?????(?2?x,?y) 2． 答案：设动点的坐标为P(x,y),则H（0,y）,?PHPM?????(2?x,?y)???????????PNPMPN(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2-4+y2
????|PH|222
????????，即x=2(x-4+y) =|x|,由题意得|PH|2=22?PMPN 30