|NP|?(x?212)?(y?212)2?(x?12)?214?4x2??3(x?16)?2712
216.|NP|取得最小值，故当x=时，最小值为，当x=?44121116|NP|取得最大值，时，最大值为
4．(典型例题)如图，P是抛物线C：y=
x2上—点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．
(1)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点 M的轨迹方程； (Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求取值范围．
[考场错解] (1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M(x0，y0) 由y=x2①得y'1=x ∴直线l的方程为y=
2112|ST||SP|?|ST||SQ|的
x12=-
1x1 (x-x1)②联立①②消去y得，
x2+
2x1x-x12-2=0 ∵M为PQ的中点，
x1?x21?x???0?2x1∴???y?1x2?1(x?x)101?02x1?
消去x1得y0=x0+
2
122x0?1 ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x+
2
12x2+1．
(Ⅱ)设直线y=kx+b，分别过P、Q作PP'⊥x轴， QQ'⊥y轴垂足分别为P'、Q'则
|ST||SP|?|ST||SQ|?|OT||P'P|?|OT||Q'Q|?|b||y1|?|b||y2|,
12?x?y?由?2?y?kx?b?消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③
2??y1?y2?2(k?b)则? 2??y1y2?b?|ST||SP|?|ST||SQ|?|b|(1|y1|?1|y2|)?2|b|1|y1y2|?2|b|1b2?2
?|ST||SP|?|ST||SQ|的取值范围是[2，+∞]．
[专家把脉] (1)没有注意“杂点”的去除；(Ⅱ)没有注意利用重要不等式时等号成立的条件．
[对症下药] 解法：(1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依题意x1≠0，yl>0，y2>0．
由y=x2，①
21得y'=x.
36
∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意， ∴x1≠0． ∴直线l的斜率k1=?1k切??1x,直线l的方程为y-x21=?22
11x(x-x1)．②
方法一：联立①②消去y，得x+∵M为PQ的中点，
x1?x21?x???0?2x1? ???y?1x2?1(x?x).10?02x1?2x1x-x1-2=0．
2
消去x1,得y0=x02+
1122x0+1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+
1x1?x2212x2+1(x≠0)，
方法二：由y1=x21,y2=x22，x0=
22，得y1-y2=
12x21-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，
2211则x0=
y1?y2x1?x2?k1=-1x01x1
∴x1=-,
2
将上式代入②并整理，得y0=x0+∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+
12x02+1(x0≠0)，
12x2+1(x≠0)．
(Ⅱ)设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)．分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'
⊥y轴，垂足分别为p'、 Q'，则
|ST||SP|?|ST||SQ|?|OT||P'P|?|OT||Q'Q|?|b||y1|?|b||y2|.
12?x?y?由?2?y?kx?b?消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0．③
2??y1?y2?2(k?b),则? 2?yy?b.?12方法一：
?|ST||SP|?|ST||SQ|?|b|(1y1?1y2)?2|b|1b2?2.
∵y1、y2可取一切不相等的正数， ∴
|ST||SP|?|ST||SQ|的取值范围是(2，+∞)．
37
方法二：∴
|ST||SP|?|ST||SQ|?|b|y1?y2y1y22?|b|2(k2?b)2.
b2(k2当b>0时，当b<0时,
|ST||SP||ST||SP|?|ST||SQ||ST||SQ|=|b|=-b
2(k?b)2??b)b2b2?2kb2+2>2；
?2(k?b)2?2(k?b)bb.
又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2= 4k2(k2+2b)>0． 于是k2+2b>0，即k2>-2b． 所以
|ST||SP|?|ST||SQ|2kb2?2(?2b?b)?b?2
∵当b>0时，
?|ST||SP|?|ST||SQ|可取一切正数，
的取值范围是(2+∞)．
方法三：
由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP, 即
y2?bx2?y1?bx1.
则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)． 于是b=
x2?12x1?x1?x2?x1212x22??121212x1x2.
?|ST||SP|?|ST||SQ|?|b|y1?|b|y2|??x1x2|?1x2|?1212x1x2|?|2x2x2x1|?|x1x2|?2.
?|x2x1|可取一切不等于l的正数，
|ST||SP|?|ST||SQ|的取值范围是(2，+∞)．
专家会诊
①直线过定点的问题，常用直线系的思想处理． ②定值问题常常用函数的思想处理，即把所求定值通过一些基本变量表示，最终化成常数．
③最值问题往往用几何方法，函数或不等式等方法处理． 考场思维调练 1 已知椭圆C：
x25?y23?m22(m>0)，经过其右焦点F且以a=(1，1)为方向
向量的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线 OM交椭圆C于N点． (Ⅰ)证明：OA?OB?ON;
38
(Ⅱ)求OA?OB的值． 答案： a2=
52m,b22?32m,?c22?a?b22?m2
∵直线l过焦点F（m,0）且与向量a(1,1)平行， ∴直线l的方程为：y=x-m
将其代和椭圆C的方程，并整理可得：８x2-10mx-设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).
∵M是线段AB的中点，在方程①中由韦达定理，可得：
xM??M(xA?xB258m,38?58m,yM?xM?m??38m,52m2?0…①
m).设N’为OM延长线上的点，且M为ON’的中心，则N’(边形，将N’的坐标代入椭圆C方程的左端并化简得N’点在椭圆C上，N’与N点重合， ∴四边形OANB为平行四边形于是OA?OB2 已知椭圆C：满足F1F2?P1F2xa2254m,?54342m),且四边形OAN'B为133412平行四
15?(m)??(?m)2?m,2?On.
12?yb22右焦点分别为F1、F2，离心率e= ?1(a>b>0)的左、
94,
,P1为椭圆上一点，
?0,P1F1?P1F2?斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为C，点Q分有向线段GF1所成的比为λ．
(Ⅰ)求椭圆C的方程． 答案：设|P1F1|?r1,|P1F2|?r2,F1F2?P1F2?0,
△P2F1F2为直角三角形且∠P1F2F1=90°， 则r1cos∠F1P1F2,由
P1F1?P1F2?又e?ca?1294?r1r2cosF1P1F2?294?r2?32,由(2a?32)2?94?4c2得b2a?32,,解得a?4,by22?3,
?椭圆C的方程为x24?3?1(Ⅱ)设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当 1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．
39
答案：可求得|RH|=3
33?4k2
在y=k(x+1)中，令x=0得y=k,即得G（o,k）,定比分点坐标公式
?k1332?34(3?2?8??4),显然f(?)?3?2?8??4116在[1，2]上递增，∴
454?k2?24,
3?|RH|?3.
3 过椭圆C：
xa22?yb22=1(a>b>0)外一定点A(m，0)作一直线l交椭圆C：于P、Q两点，又Q关于
x轴对称点为Ql，连结PQ1交x轴于B点．
(1)若
AP?λ
AQ，求证PB=λ
BQ1.，
3． 答案：连结AQ1，因为Q与Q1关于x轴对称，而A在x轴上则在△APQ1中，AB平分∠PAQ1
由内角平分线定理可知：|AP:||AQ1?|AQ|则|PB|:|BQ1|??,又AQ|?|PB|:|BQ1|而AP??AQ?AP与AQ同向，故λ>0且
P、B、Q1在同一直线且PB与BQ1同向
于是有：PB??BQ1
a2(2)求证：点B为一定点(
m，0)．
x2答案：设过A（m,0）的直线l与椭圆C：2a?yb22交于?1，P（x1,x2）,Q(x2,y2),Q1
与Q关于x轴对称，则Q1（x2,-y2） 由a2x12?y1b22?1及x2a22?y2b22?1相减得(x1?x2)(x1?x2)a2?(y1?y2)(y1?y2)b2?0
?kPQ?y1?y2x1?x2?ba22?x1?x2y?y12PQ直线方程:y?y1??b(x?x2)a(y1?y2)22(x?x1)
而PQ过A（m,0）,则有：
m?x1?ay1(y1?y2)b(x1?x2)22?ab?bx1x2?ay1y2b(x1?x2)22222
而PQ1过B（Xb,0）,同理可求得：
xBab?bx1x2?ay1y2b(x1?x2)22222
下面利用分析法证明：mxB=a2,
即证:(ab?bx1x2)?(ay1y2)[b(x1?x2)]22
2
2
222222222
①
2
2
2
2
2
2
只需证： [ab+bx1x2-ab(x1+x2)][ab+bx1x2+ab(x1+x2)]=(ay1y2) 只需证： b[a-a(x1+x2)+x1x2]·b[a+a(x1+x2)+x1+x2]=(ay1y2)即证： b4(a-x1)(a-x2)(a+x1)(a+x2)=(a2y1y2)2
2
2
2
2
2
40